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G. Allaire et ses collaborateurs (M. Palombaro, A. Piatnitski, M. Vanninathan) s’intéressent à l’homogénéisation des équations de Schrödinger dans un potentiel périodique modélisant, par exemple, un cristal atomique. En couplant des techniques de convergence à deux échelles et d’ondes de Bloch ils ont obtenu des résultats d’homogénéisation justifiant la notion de masse effective d’un électron dans un cristal périodique. Ce résultat nouveau correspond à une nouvelle mise à l’échelle des équations, différente de celle de la limite semi-classique, et qui correspond à des temps plus grands asymptotiquement.

Lorsque le milieu n’est plus parfaitement périodique mais qu’il contient des défauts, modélisés par un potentiel périodique modulé macroscopiquement, ils ont révélés une possibilité de localisation asymptotique et exponentielle de fonctions d’ondes piégées par ces défauts.

Enfin, si le potentiel est aussi oscillant en temps (le cas d’une excitation électromagnétique externe), ils ont obtenu un effet d’excitation de nouveaux niveaux d’énergie et de couplages de modes. Il s’agit là d’un modèle de l’effet photo-conducteur dans les semi-conducteurs où une onde électromagnétique (de la lumière) peut transférer des électrons de la bande de valence à la bande de conduction (et vice versa, ce qui donne un effet d’émission spontanée de lumière sous l’effet d’un courant électrique). Les formules homogénéisées de couplage trouvées correspondent à la règle d’or de Fermi en physique quantique.

Une extension de ces travaux vers le comportement en temps grand de l’équation des ondes est en cours. On étudie des asymptotiques au delà du régime de l’asymptotique WKB et de l’optique géométrique, qui peuvent avoir des applications pour la propagation de la lumière dans les cristaux photoniques.