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G. Allaire et R. Brizzi s’intéressent aux algorithmes de simulation ``directe’’ de phénomènes multi-échelles permettant d’effectuer une procédure d’homogénéisation numérique. Les applications visées sont, dans un premier temps, des équations de transport, de Darcy, et de convection-diffusion.

L’approche traditionnelle des calculs homogénéisés consiste à établir dans un premier temps des coefficients effectifs ou macroscopiques (obtenus à l’aide de la structure fine du milieu), puis à résoudre dans un deuxième temps un problème homogénéisé (c’est-à-dire utilisant les coefficients effectifs que l’on vient de déterminer) sur un maillage grossier (par rapport aux échelles des hétérogénéités initiales). Cette approche permet d’obtenir assez facilement le comportement moyen des variables du modèle, mais est incapable de prédire leur fluctuations locales aux échelles fines des hétérogénéités. On peut corriger cela grâce à la notion de correcteurs en homogénéisation, mais cela est restreint en général aux milieux périodiques.

L’idée nouvelle ici est de résoudre directement le problème hétérogène sans passer par une étape de détermination des coefficients effectifs, et en utilisant une base spéciale d’éléments finis multi-échelles. Pour que le coût de calcul reste raisonnable la dimension de cette base sera celle d’un calcul sur un maillage grossier. Par contre, les fonctions de cette base ne seront pas de simples polynômes mais le résultat d’un calcul hétérogène local réalisé sur un maillage fin. Ces calculs fins, étant indépendants les uns des autres et réalisés sur des sous-maillages disjoints, peuvent être réalisés en parallèle et sont aussi peu coûteux. Toute l’information sur les hétérogénéités fines du milieu est ainsi ``codée’’ dans ces fonctions de bases dites multi-échelles. On retrouve donc, non seulement le comportement homogénéisé, mais aussi les fluctuations fines.

Les premiers travaux sur le sujet sont dus à Arbogast, Matache-Babuska-Schwab, et Hou-Wu. Des résultats partiels de convergence sont disponibles pour des milieux périodiques et des équations autoadjointes.

Les travaux de G. Allaire et R. Brizzi ont permis de proposer une nouvelle méthode multi-échelles permettant de traiter les problèmes d’ homogénéisation non-périodiques. Celle-ci généralise la méthode proposée par Hou-Wu. Les bases spéciales d’éléments finis multi-échelles sont construites par composition des bases classiques d’éléments finis avec les fonctions oscillantes introduites par Murat-Tartar. Ces dernières sont déterminées numériquement dans chaque élément du maillage grossier. Cette nouvelle approche rend aisé l’implémentation de méthodes d’ordre supérieur. L’analyse de la convergence de la méthode est ainsi plus simple car elle revient à appliquer le changement de variable proposé aux résultats classiques de convergence sur le maillage grossier. Ce travail vient d’être publié dans la revue internationale SIAM/MMS. D’autre part, l’utilisation de cette nouvelle méthode pour la simulation numérique de problèmes paraboliques à coefficients fortement oscillants a été présenté lors des journées scientifiques du GDR MOMAS à Luminy (nov. 2005). La prochaine étape sera d’étendre la méthode aux équations de Darcy et de convection-diffusion.

Par la suite, nous envisageons aussi d’étudier les problèmes d’homogénéisation de termes sources dans le cadre du GDR MOMAS ainsi que l’application de cette méthode pour les problèmes aux limites posés dans des domaines à frontières fortement oscillantes.