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Dans un travail en collaboration, E. Bonnetier et M. Vogelius (Rutgers), avaient étudié la régularité du gradient de la solution d’une équation elliptique [IMAGE png] posée dans un domaine borné de [IMAGE png]. Le coefficient [IMAGE png] représente un milieu contenant des inclusions et est égal à une constante [IMAGE png] dans les inclusions et vaut [IMAGE png] dans la `matrice’. Dans le cas d’un problème de cisaillement antiplan, le vecteur [IMAGE png] représente les contraintes et on cherche à savoir si [IMAGE png] est borné, indépendamment de la distance entre les inclusions. E. Bonnetier et M. Vogelius ont montré que lorsque deux inclusions circulaires se touchent et lorsque [IMAGE png], le gradient du potentiel est borné, affinant ainsi les résultats classiques de régularité elliptique de De Giorgi et Nash.

Ces résultats ont ensuite été généralisés pour une équation scalaire par YanYan Li et M. Vogelius, qui ont obtenu des estimations [IMAGE png] pour des domaines contenant des inclusions dont le bord est suffisamment régulier ( [IMAGE png]), indépendantes de la distance entre les inclusions (en particulier, dans le cas de contacts).

Ce travail continue avec E. Bonnetier et F. Ben Hassen, étudiant de l’ENIT (Tunisie). Ils s’intéressent à la possibilité de détecter des inclusions qui se touchent, dans un composite contenant des inclusions régulières, à partir de mesures sur le bord. Ils s’intéressent également à des formules asymptotiques permettant de déceler la présence de défauts réguliers dans un composite périodique formé d’inclusions.

Instabilités morphologiques dans les films cristallins

L’objet de cette étude est la modélisation d’instabilités dans les processus de croissance épitaxiale de films minces sur un substrat plan. On observe expérimentalement que la surface libre du film est parfaitement plane lorsque son épaisseur est petite. La surface libre se déforme et se plisse lorsque l’épaisseur dépasse un seuil critique.

Le problème est modélisé par la compétition de deux termes antagonistes dans l’expression de l’énergie totale du système : l’énergie élastique volumique et la tension de surface. Le duel est arbitré par un paramètre [IMAGE png], qui correspond à l’épaisseur moyenne du film. Ce type de mécanisme intervient dans beaucoup de modèles de croissance de films minces, mais aussi dans des modèles géologiques et des modèles de corrosion.

Dans leurs précédents travaux, E. Bonnetier et A. Chambolle ont étudié une situation bi-dimensionnelle et ont proposé un cadre mathématique garantissant que le problème de calcul des variations correspondant est bien posé (i.e., il existe des configurations optimales). Ils ont aussi proposé une méthode de calcul numérique des formes optimales, basée sur une régularisation de la fonctionnelle d’énergie, où on approche le terme de tension de surface par par une énergie de type Allen-Cahn, i.e., la surface libre du film est considérée comme une interface diffuse.

Nous nous intéressons à la dimension supérieure. Un travail théorique d’A. Chambolle et Margherita Solci (Alghero, Sardaigne) montre que le problème est correctement posé et peut à nouveau être approché par une méthode d’interface diffuse (preprint CMAP #584). (Cependant, le cas où le film est régi par un comportement linéaire-élastique n’est toujours pas très clair.)

La méthode numérique correspondante et a été implémentée, en 3D, avec F. Jouve. Les premiers tests numériques sont bons et nous disposons maintenant d’un outil numérique qui devrait nous permettre d’étudier certains aspects du problème d’instabilités (dépendance de la taille des structures observées par rapport aux données, influence de la gravité, dynamique d’évolution,...).