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Imagerie Médicale et Electromagnétisme
Cette équipe est issue de la fusion entre les équipes Matériaux non linéaires et modèles cinétiques, Méthodes intégrales et propagation d’ondes et Problèmes inverses et leurs applications
- Membres de l’équipe
- Activités de recherche
Directeur de Recherche CNRS
Chercheurs confirmés
Toufic Abboud, Chargé de recherche CNRS (Congé pour conv. pers.)
Naïma Aïssa, Chercheuse invitée
Habib Ammari, Directeur de recherche CNRS
Kamel Hamdache, Directeur de recherche CNRS
Anne de Bouard, Chargée de recherche CNRS
Aldjia Mazari, Ingénieur de recherche, Ecole Polytechnique
Jean-Claude Nédélec, Directeur de recherche à l’École Polytechnique
R. Borghol
Clair Poignard
Hyundae Lee
Doctorants encadrés au laboratoire
Anaël Dossevi
Anastasia Kozhemyak
Carlos Jerez
Eduardo Godoy
Pierre Garapon
Jean Baptiste Bellet
Ricardo Hein
Sheraz Khan
Dorcas Poget
Natacha Béreux-Vialle, Ingénieur de Recherche EDF
Ekaterina Iakovleva, Ingénieur de recherche CEA
Sofiane Soussi, Post-Doctorant, Université de Gottingen
Kaouthar Louati, ATER, Université de Paris 8
Mikyoung Lim, Assistant Professor, Colorado State University
Ignacio Muga
Sebastian Ossandon
Habib Zribi, Post Doctorant, Imp\’edance Imaging Research Center, Seoul
Activités de recherche
Imagerie Médicale
La tomographie par impédance électrique est une technologie initialement conç cue pour la caractérisation des sols en géophysique. Elle est utilisée également dans le secteur industriel, notamment pour l’inspection non destructive des matériaux. Sur un autre terrain, elle a démontré son efficacité pour détecter les mines antipersonnelles. Dans le domaine biomédical, on commence à exploiter son potentiel dans l’imagerie du cancer du sein et de la prostate. Toutefois, sa résolution spatiale reste insatisfaisante à cause des caractères non-linéaires et mal posés du problème.
Récemment, avec H. Kang (Seoul National University), nous avons surmonté dans un ouvrage intitulé " Reconstruction of Small Inhomogeneities from Boundary Measurements" (Springer 2004) ces deux difficultés fondamentales dans un cadre asymptotique qui semble être bien adapté non seulement au problème d’imagerie du cancer du sein et de la prostate par impédance électrique (thèse de A. Kozhemyak) mais également à la détection des mines antipersonnelles ou de défauts dans les structures élastiques (thèse et stage post-doctoral de E. Iakovleva).
à l’aide de la méthode des équations intégrales et de techniques d’analyse harmonique, nous avons développé de nouveaux algorithmes pour l’identification et la localisation de petites inhomogénéités (de conductivité isotrope et anisotrope, diélectriques et élastiques) à partir de mesures (partielles) sur le bord de l’objet ou en utilisant des données spectrales (champs de diffusion, fréquences de résonances, matrice des amplitudes modales dans le cas des guides d’ondes). Ces algorithmes sont basés sur des formules asymptotiques générales d’ordre élevé de la solution du problème correspondant (équation de la conductivité isotrope ou anisotrope, équation de Helmholtz, équations de Maxwell, système de Lamé, équation des ondes, équation de la chaleur), qui décrivent la perturbation due aux inhomogénéités de cette solution.
Dans le but d’établir ces développements techniques, nous avons introduit les notions de tenseurs de polarisation généralisés isotropes et anisotropes. Ces notions généralisent celles trouvées par Polya et Szegö dans les années cinquante.
D’une part, nous avons démontré que la connaissance des tenseurs de polarisation généralisés caractérise d’une manière unique la géométrie de l’inclusion ainsi que sa conductivité (ou ses paramètres de Lamé). Nous avons également étudié en détail les propriétés de symétrie et de positivité de ces tenseurs et trouvé de nouvelles inégalités isopérimétriques.
D’autre part, nous sommes parvenu à mettre en évidence leur grande utilité dans la théorie des milieux effectifs : ils permettent d’exprimer la dépendance des paramètres effectifs d’un composite en fonction de la géometrie et les paramètres constitutifs des matériaux le constituant.
Avec H. Kang, nous avons écrit ouvrage intitulé " Polarization and Moment Tensors with Applications to Inverse Problems and Effective Medium Theory" (Springer 2007) consacré à l’étude de ces tenseurs de polarisation généralisés et leur utilisation dans différentes branches des mathématiques appliquées.
Nous avons ensuite exploité ces formules pour développer plusieurs algorithmes d’inversion (algorithme variationnel, algorithme de projection de courants, approche par extension méromorphe, algorithme de type diffraction tomographique ou Fourier, algorithme de type multiple signal classification (MUSIC) ou de type retournement temporel) qui sont robustes et performants et qui peuvent être utilisés en temps réel pour retrouver la position de l’inhomogénéité, estimer son volume et avoir une idée sur sa forme géométrique (via la détermination des tenseurs de polarisation généralisés qui lui sont associés). Un travail numérique de comparaison entre ces différents algorithmes de détection a été éffectué par S. Mefire.
Lorsque plusieurs petites inhomogénéités sont proches les unes des autres, elles peuvent être remplacées par un objet équivalent (avec des paramètres constitutifs effectifs) qui induit les mêmes perturbations (au premier ordre). Notre méthode de reconstruction nous permet de détecter cet objet et de trouver ses paramètres constitutifs. Ceci nous a conduit à se pencher sur le problème d’explosion du gradient de la solution du problème de conductivité lorsque deux inclusions se touchent. Des estimations très précises ont été obtenues en fonction non seulement de la distance entre les inclusions mais également de leurs conductivités (stage post-doctoral de M. Lim).
Nous avons également étendu nos algorithmes au régime temporel (équation des ondes, équation de la chaleur) et entrepris la détection de petites inhomogénéités d’une manière statistiquement stable, dans un milieu incertain décrit par des fluctuations stochastiques de ses paramètres constitutifs autour de valeurs connues a priori.
Afin de détecter d’une manière stable des défauts électromagnétiques ou élastiques, notre démarche consiste à utiliser les données obtenues par un balayage en fréquence, en profitant au mieux de la connaissance spatiale que procurent les réseaux de sources et de capteurs utilisés pour la visualisation des inclusions. Nous construisons ainsi de nouveaux algorithmes dont les propriétés de focalisation permettent de déceler ces inclusions.
Très récemment, nous avons ouvert la voie à l’imagerie électromagnétique de matériaux composites à structure périodique ou voisine du périodique, en allant au-delà de la limite de diffraction de Rayleigh. L’échelle caractéristique du composite est plus petite que la demi-longueur d’onde. Notre approche est basée sur des analyses asymptotiques précises des champs électromagnétiques et utilise la théorie des milieux effectifs. Les applications visées se situent en particulier en nano-technologie/nano-systèmes (photonique) et en diagnostic du vivant.
Les techniques que nous avons développées pour la résolution des problèmes inverses sont prometteuses et peuvent être appliquées dans d’autres domaines, en particulier en optimisation de forme et en homogénéisation (thèse de K. Touibi) et à la détection de la corrosion (thèse de K. Laouti).
Notre objectif est de développer de nouvelles méthodes d’inversion en imagerie médicale.
Imagerie du cancer du sein par une méthode asymptotique
Même si la mammographie reste l’examen de référence en matière de diagnostic du cancer du sein, les autres techniques d’imagerie ont une place primordiale en particulier dans la tranche d’âge de moins de 50 ans. La densité des seins de cette tranche d’âge induit une lecture mammographique plus difficile et moins précise. La mammographie risque de détecter des cancers chez les femmes qui n’en ont pas (faux positif) et ne pas les détecter chez celles qui en ont (faux négatif). Lors de la mammographie, les rayons X passent à travers les tissus les moins denses mais ils sont arrêtés par les plus denses. Si la tumeur est de densité semblable à celle des tissus avoisinants, la mammographie ne la détecte pas. Cela se produit dans près de 16\% des cas chez les femmes de plus de cinquante ans et ce pourcentage atteint 41\% chez les femmes qui sont plus jeunes. La mammographie est certes indispensable mais certainement non infaillible pour détecter les tumeurs. Il faut donc rechercher des techniques non irradiantes complémentaires à la mammographie pour imager le cancer du sein. L’élaboration de ces techniques nécessite la visualisation d’autres paramètres physiques qui varient fortement entre un tissu sain et un tissu cancéreux.
Une nouvelle technique complémentaire est l’imagerie par impédance électrique. Cette technologie, qui repose sur les différences de conductivité électrique entre tissu sain et tissu cancéreux, est commercialisée par Siemens sous le nom de TransScan 2000.
Dans des travaux récents avec J.K Seo (Yonsei University) et son équipe, nous nous sommes proposé d’améliorer cette technique d’imagerie en raffinant le modèle et son analyse mathématique. Nous avons réussi à développer des algorithmes numériques stables pour visualiser les variations d’impédance électrique de la glande mammaire en temps réel, avec une résolution spatiale millimétrique. Ces images peuvent être utilisées en conjonction avec la mammographie pour déceler des petites tumeurs et repérer les microcalcifications. Elles constituent des examens peu coûteux qui ne présentent aucun risque pour la santé des patients.
Notre ambition est de contribuer, en développant des algorithmes d’imagerie performants, à la réalisation d’un appareil très fiable et peu coûteux qui pourra être utilisé pour améliorer sensiblement la sensitivité (réduire le pourcentage des faux négatifs) et la spécificité (réduire le pourcentage des faux positifs) de la mammographie.
Tomographie d’impédance électrique par focalisation ultrasonore
Très récemment, nous avons proposé une nouvelle méthode d’imagerie basée sur la tomographie d’impédance électrique par perturbation élastique qui permet de reconstruire d’une manière spectaculaire (avec une résolution millimétrique et à une grande profondeur de pénétration) les paramètres électriques d’un tissu. Il s’agit d’une invention qui résulte d’une fructueuse collaboration avec d’une part M. tanter et M. Fink (ESPCI), travaillant sur l’imagerie médicale, et d’autre part Y. Capdeboscq (Versailles) et E. Bonnetier (Grenoble). L’exploitation de notre invention pourrait donner lieu à un autre appareil extrêmement performant (tant au niveau de la profondeur de pénétration, du contraste et de la résolution spatiale) pour le dépistage du cancer du sein.
Le principe de cette méthode est de créer, par une méthode non-intrusives, des perturbations controlées ‡ l’intérieur du milieu que l’on souhaite imager, ce qui permet de reconstruire très précisement le milieu non-perturbé. Parce qu’elle combine des mesures de quantités de nature physique différente, notre méthode permet de s’affranchir des limitations inhérentes à la tomographie d’impédance, à savoir une mauvaise résolution en dehors des anomalies, tout en en conservant les avantages, à savoir sa portabilité et son coût faible.
Depuis quelques années se développe l’imagerie électrique cérébrale qui consiste à estimer l’activité électrique du cerveau au cours d’une tâche donnée.
Le problème inverse consiste à estimer les sources à l’origine des signaux électriques (EEG : Electroencéphalographie) et magnétiques (MEG : Magnétoencéphalographie) à partir des mesures de potentiels électriques et des champs magnétiques à la surface de la tête.
Ce problème inverse est complexe et il est en plein développement au sein de la communauté internationale. A l’heure actuelle, il existe deux types de méthode pour sa résolution :
les méthodes dipolaires qui consistent à estimer la
localisation d’un ou de quelques sources de courant, qui
représente l’activité de toute une région corticale,
les méthodes de sources distribuées qui consistent à
disposer d’un grand nombre de sources de courant sur la surface
corticale et à estimer l’amplitude de chacune.
Toutefois, ces méthodes ne permettent pas d’une part d’obtenir des informations de haute résolution spatiale et d’autre part, d’exploiter l’information temporelle contenue dans les signaux.
Dans le cadre de la thèse de A. Dossevi (thèse co-encadrée avec L. Garnero, Laboratoire de Neurosciences et Imagerie Cérébrale, Hôpital La Salpêtrière), nous avons :
développé une nouvelle méthode inverse hybride entre
l’estimation dipolaire et les méthodes de sources distribuées,
dans le même esprit que celles que nous avons construites pour
le problème de conductivité inverse, afin de déterminer dans
des régions délimitées du cortex la localisation et
l’étendue spatiale de l’activité cérébrale,
intégré l’information temporelle afin de dégager la
synchronisation de l’activité électrique des différentes
régions du cerveau.
Nous nous proposons d’appliquer notre algorithme d’identification de neurones synchronisés dans le domaine clinique pour la reconstruction des réseaux épileptiques à partir d’enregistrements MEG et EEG.
Dans le même esprit que nos travaux sur les tenseurs de polarisation généralisés, nous dÈveloppons, dans le cadre de la thèse de S. Khan (co-encadrée avec S. Baillet, Laboratoire de Neurosciences et Imagerie Cérébrale, Hôpital La Salpêtrière) des expansions multipolaires d’ordre élevé capables de décrire l’extension spatiale de la région activée. Nous prévoyons d’utiliser ces expansions pour mieux localiser et estimer les paramètres géométriques à l’origine des signaux électriques.
Projets et axes d’avenir : methodes hybrides d’imagerie
Nous continuons notre travail sur l’identification de neurones synchronisés et nous envisageons des applications dans le domaine clinique pour la reconstruction des réseaux épileptiques à partir d’enregistrements MEG et EEG. Nous allons continuer également nos travaux sur les méthodes l’imagerie pour déceler le cancer du sein et de la prostate (par des couplages impédance électrique/ultrasons et imagerie par résonance magnétique/élastographie) afin d’ouvrir la voie à la mise au point de nouveaux imageurs très fiables.
Nous étendrons notre algorithme de type MUSIC pour détecter des petites inhomogénéités dans un milieu incertain d’une manière statistiquement stable. Le milieu est décrit par des fluctuations stochastiques des paramètres électriques. Dans ce nouveau cadre de coefficients électriques variables et inconnus a priori, notre démarche consiste d’abord à généraliser nos formules asymptotiques et ensuite à utiliser les données obtenues par un balayage en fréquence. Elle nous permet de construire un algorithme de type estimation de direction d’arrivée dont les propriétés de focalisation permettent de déceler les petites inhomogénéités avec une résolution de l’ordre du millimètre. Notre algorithme sera testé numériquement en utilisant des données expérimentales.
La tomographie par impédance électrique n’est pas applicable à la prostate. Une nouvelle approche, dite endotomographie par impédance électrique, a été récemment développée. L’endotomographie par impédance électrique (EIE) est une méthode pour imager la conductivité des tissus ou des organes profonds en utilisant une sonde d’impédance située au centre de la région d’étude. La sonde (urétrale) est constituée d’électrodes parallèles, placées à la surface d’un cylindre isolant et le champ électrique se propage dans le milieu entourant la sonde. Cette nouvelle méthode a été développée pour la détection du cancer de la prostate. Le principe de l’endotomographie suppose que que le tissu normal de la prostate et le tissu de la tumeur ont des conductivités électriques très différentes. Comme l’emplacement des électrodes au centre de la région d’étude crée une situation différente de la tomographie par impédance électrique, les concepts mathématiques et les techniques numériques de reconstruction que nous avons développés ont besoin d’être adaptés à cette nouvelle situation. Notre but serait de fournir des outils mathématiques rigoureux pour la reconstruction en temps réel de petites inhomogénéités en utilisant la technique EIE.
Nous continuons notre travail sur l’imagerie d’impédance électrique par focalisation ultrasonore. Comme dans le problème de la tomographie par impédance sans ondes ultra-sonores, l’ensemble de la frontière n’est pas en général accessible aux mesures. Nous nous proposons d’obtenir des estimations précises de la qualité de la reconstruction en fonction de la distance à la zone de mesure, et de la forme du courant électrique imposé. Ce problème est particulièrement important, à cause de la connaissance non parfaite du bord de l’objet à imager (le sein par exemple).
Nous nous intéresserons également à un couplage proposé dans les années quatre vingt dix entre l’imagerie par résonance magnétique et celle par impédance électrique. Le flux magnétique dû à l’injection d’un courant est mesuré à l’aide d’un scanner. Nous nous proposons d’améliorer la résolution spatiale de l’image obtenue par résonance magnétique nucléaire, à champ magnétique constant.
Récemment, nous avons obtenus plusieurs résultats mathématiques et numériques sur la magnéto-acoustographie, une technique d’imagerie qui permet d’obtenir avec une bonne résolution la carte de conductivité d’un objet (thèse de A. Kozhemyak).
Nous travaillerons également dans le cadre de la thèse de P. Garapon et en étroite collaboration avec R. Sinkus (ESPCI) sur les fondements mathématiques d’un autre système très prometteur d’imagerie qui consiste à coupler l’élastographie et l’imagerie par résonance magnétique nucléaire pour la détection des tumeurs.
L’imagerie par résonance magnétique permet de mesurer les trois coordonnées spatiales du vecteur de déplacement dans l’organe à imager. Le problème inverse est de déterminer les propriétés visco-élastiques des tissus à partir de cette mesure. Nous avons proposé un nouveau algorithme totalement noveau pour la reconstruction d’anomalies à partir de mesures élastographiques. Ceci a nécessité des analyses très fines de l’équation de Lamé (propriétés géométriques des solutions, estimations de volume optimales, construction de solutions singulières, construction d’asymptotiques, introduction d’un concept parallél au concept de tenseur de polarisation). Dans le cadre de la thèse de P.Garapon, nous nous proposons également d’exploiter et d’analyser les données multi-échelles obtenues par cette technique d’imagerie.
équations Intégrales & électromagnétisme
Au-delà de nos travaux sur les problèmes inverses, nous avons menéà l’aide de la méthode deséquations intégrales des analyses asymptotiques d’ordre élevé de solutions ou de spectres de l’équation de conductivité par rapport aux variations géométriques ou de paramètres de l’équation (thèse de H. Zribi). Notre intérêt pour de telles formules asymptotiques est dû au fait qu’elles fournissent des outils très puissants pour la résolution des problèmes d’optimisation.
En particulier, nous avons considéré le problème de conductivité dans des milieux à forts contrastes, le problème de perturbation du bord d’une inclusion de conductivité, le problème de valeurs propres du Laplacien dans des domaines perturbés et le problème d’ouverture de gap dans le spectre des cristaux photoniques. L’étude des résonances de quelques structures perturbées éclairées par des ondes électromagnétiques harmoniques et constituées de diélectriques et de conducteurs a fait l’objet de la thèse de F. Triki.
Nous avons étendu les travaux d’Ozawa, de Rauch-Taylor et de Besson sur les comportements asymptotiques des valeurs propres du Laplacien dans un domaine perturbé. Nous avons proposé une méthode qui permet d’écrire en toute dimension d’espace des développements asymptotiques complets et de traiter le cas des valeurs propres multiples. Nous avons prouvé que les problèmes spectraux pour le Laplacien dans des domaines perturbés sontéquivalentsà des systèmes d’équations intégrales posées sur le bord de la perturbation. Ainsi, la recherche des valeurs propres se transforme en la recherche des valeurs caractéristiques d’une fonction méromorpheà valeur d’opérateurs intégraux. En s’appuyant sur les résultats de Gohberg et Sigal, nous avons calculé explicitement des asymptotiques complètes des valeurs propres.
Cette technique d’équation intégrale a permis des récentes percées dans l’étude des cristaux photoniques (thèses de S. Soussi et H. Zribi) et phononiques (stage post-doctoral de H. Lee).
Ces cristaux sont des structures périodiques composées de matériaux diélectriques ou élastiques conçues afin de présenter des propriétés intéressantes, telles que des gaps dans leurs spectres, pour la propagation des ondesélectromagnétiques ou Èlastiques classiques. Le phénomène de bandes interdites de photons peut être réalisé dans des matériauxà forts contrastes structurés périodiquement. Avec un choix adéquat de la structure du cristal, de la dimension de la cellule fondamentale et des matériaux composant le cristal, la propagation des ondesélectromagnétiques dans certaines bandes de fréquence peuvent être bannies du cristal.
Dans sa thèse, S. Soussi a modélisé la propagation des ondesélectromagnétiques dans les fibres optiques photoniques et a donné un cadre mathématique permettant de comprendre leurs propriétés inhabituelles comparées aux fibres photoniques opérant par réflexion totale.
Dans le cadre de la thèse de H. Zribi, une analyse très fine de la sensibilité du gap ouvert dans les cristaux photoniques par rapportà la géométrie de l’inclusion et le contraste de conductivité est fournie. Ce travail a été étendu aux cristaux phononiques dans le cadre du stage post-doctoral de H. Lee. En particulier, une condition nécessaire et suffisante pour l’ouverture d’un gap a été obtenue.
Préconditionneurs en acoustique et électromagnétisme
Les équations intégrales, comme toutes les méthodes numériques de simulation des équa-tions harmoniques, présentent de sévères limitations pour traiter des problèmes à hautes fréquences. Il nous faut, en effet, un maillage en $ displaystylelambda / 20 $ dans le cas des méthodes d’éléments finis, et en $ displaystylelambda/5 $ dans le cas des équations intégrales. Nous avons cherché à nous affranchir de ce handicap dans le cadre des équations intégrales. La technique mise au point (Thèse de B. Zhou) consiste à chercher une solution qui oscille moins en introduisant dans les inconnues une phase. L’approximation classique de Kirchoff nous donne cette phase dans la partie éclairée et nous l’utilisons partout. Ceci nous a conduit à des gains de performances de l’ordre de 1000, mais au prix d’une beaucoup plus grande complexité du calcul de l’assemblage de la matrice. Ce travail a été repris récemment, dans la thèse de E. Darrigrand (Bordeaux) avec l’introduction des méthodes rapides multipolaires (FMM), ce qui a considérablement réduit le temps de calcul de la matrice.
Dans le même type d’idées, le développement des méthodes rapides multipolaires a rendu attractives l’utilisation des mé-thodes itératives de type gradient conjugué. La FMM permet en effet d’évaluer à faible coût le champ lointain (sous sa forme représentation intégrale) créé par un courant. Ceci diminue considérablement le coût d’une itération du gradient conjugué ainsi que le stockage informatique associé (mais alors, on ne construit pas la matrice de l’équation intégrale). Ceci permet actuellement de calculer efficacement des objets de plusieurs longueurs d’ondes. Il est alors essentiel que la méthode itérative converge rapidement. Ceci est lié au conditionnement de cet opérateur. Dans sa thèse, S. Christiansen à introduit de nouvelles idées basées sur l’utilisation de l’identité de Calderon qui relie différents opérateurs intégraux. Ces techniques s’avèrent extrêmement performantes en basse fréquence. Nous poursuivons leur étude pour améliorer la convergence en haute fréquence et sur des cas de géométries complexes (diélectriques en particulier).
Méthodes des potentiels retardés
Les techniques d’équations intégrales, dans le cas de problèmes temporels conduisent à des repré-sentations en potentiels retardés. L’étude mathématique de ce type d’équations n’est pas très avancée. Nous avons entrepris dès 1987 (Thèse de T. Ha Duong) l’étude numérique de ces équations par des approximations variationnelles. La principale difficulté est l’obtention de discré-tisations temporelles stables. Dans le cas des équations acoustiques, nous avons finalement trouvé de bonnes solutions à ce problème.
Dans tous les cas ci-dessus, cette technique s’avère peu coûteuse et permet de décrire, soit l’établissement du régime harmonique, soit toute une gamme de régimes fréquentiels liée à la finesse du maillage en espace. Plusieurs industriels ont adoptés cette technique qui semble très prometteuse. C’est le cas de la start-up créée par T. Abboud (IMACS) qui a maintenant sept ans d’existence et est en période de croissance. Elle travaille en relation avec Renault, Peugeot et EADS.
La technique des équations intégrales a permis la modélisation 2D des dispositifs à onde acoustique de surface en collaboration avec Thomson Microsonics. C’est l’objet de la thèse CIFRE de Jonas Ribbe. Le code qu’il a développé est un couplage FEM-BEM utilisant le tenseur de Green piezo-électrique. Celui-ci est calculé à l’aide d’une transformation de Fourier partielle. Les résultats se comparent bien aux mesures et le code est en exploitation pour la conception des filtres SAW chez Thomson Microsonics (qui est devenu TEMEX).
Fluides et matériaux magnétiques
Fluides et matériaux magnétiques
Les matériaux ferromagnétiques connaissent un développement technologique important du fait de la miniaturisation des composants électroniques et la demande toujours plus grande d’augmentation des capacités de stockage de ces composants. La modélisation de la dynamique de l’aimantation dans un matériau ferromagnétique est donnée par les équations de Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG). Ces équations sont couplées aux équations de Maxwell satisfaites par le champ magnetique. L’induction magnétique obéit à une loi détat contenant la polarisation magnétique du milieu en plus du champ magnétique. Le point important à noter est qu’au niveau technologique les matériaux utilisé sont minces.\\ Dans un travail collaboration avec H. Ammari et L. Halpern nous avons étudié le comportement limite d’un matéria (d’epaisseur) mince. La terme d’ordre $0$ de l’asymptotique vérifie une équation LLG dans la section du domaine avec un effet induit de type Gioia-James dû à la dégénéréscence des équation satisfaite par le champ démagnétisant. Avec M. Tilioua et f D. Hamroun nous avons considéré le cas de matériaux en couches avec espaceurs non magnétique. Nous avons étudié de types de couplages intercouches : le couplage bilinéaire et le couplage biquadratique. Lorsque que l’on considère uniquement le couplage bilinéaire (qui prend en compte uniquement l’énergie de surface des couches ferromagnétiques adjacentes), nous avons établi dans avec M. Tilioua, un résultat d’existence globale de solutions faibles d’énergie finie. Nous avons ensuite étudié deux problèmes de réduction $3$D-$2$D du modèle. Dans le premier problème nous avons considéré le cas où les deux couches ferromagnétiques sont d’épaisseur très petite par rapport à celle de l’espaceur non magnétique. Dans la deuxème probème nous avons étudié le cas inverse. Pour le premier problème, l’analyse asymptotique montre, qu’à l’ordre $0$, l’aimantation limite se dédouble dans la section du matériau. Chaque aimantation vérifie une équation de LLG. Ces deux équations sont couplée via le couplage intercouche bilinéaire d’origine. Un effet induit du type Gioia-James est aussi mis en évidence qui est dû au champ démagnétisant. La réduction $3$D-$1$D avec couplage intercouche bilinéaire a été poursuivie par M. Tilioua dans le cadre de sa thèse. La réduction $3$D-$2$D dans le cas d’un espaceur non magnétique d’épaisseur petite induit des effets tout à fait nouveaux touchant les équations de la magnétostatique. En effet on obtient une nouvelle equation de la magnétostatique satisfaite par le champ démagnétisant. Elle est posée dans les domaines magnétiques avec des conditions de transmission de couplage entre les couche adjacentes qui est de type contact. Avec D. Hamroun nous avons considéré les equations de LLG dans un domaine tri-couche en prenant en compte l’energie de couplage biquadratique . Nous avons introduit introduisant une nouvelle approche de résolution des équations de LLG basée sur le principe de régularisation plutôt que sur l’utilisation de la méthode de Galerkin. La condition aux limites de Neumann, associée à cette énergie, contient par un terme non linéaire cubique et aucune propriété de monotonie n’est associée à cette condition. Nous avons établi, par une méthode de régularisation et de renormalisation des non linéarités, que les equation de LLG (multi-couches) étaient bien posées dans l’espace es solutions faibles d’énergie finie. Avec D.Hamroun et M. Tilioua nous sommes intéressés au problème du renversement de l’aimantation dans un matériau en couches, F/NF/F, par injection de courant polarisé en spin. Nous avons étudié le modèle proposé par Zhang, Levy et Fert. De nombreux autres modèles sont proposés dans les publications récentes de physique et il n’y a pas unanimité sur la question. En particulier la définition et la description de l’interaction du spin avec l’aimantation n’est pas tout à fait claire. Le modèèle proposé par A.fert et ses collaborateurs est un système couplé entre l’aimantation locale satisfaisant les équations de LLG et une nouvelle équation satisfaite par l’accumulation de spin qui est de type Bloch-Torrey. Nous avons démontré que le système proposé est bien posé et admettait des solutions globales sur tout intervalle de temps fini. Enfin, avec M. Tilioua nous avons étudié le comportement asymptotique des solutions des équations de LLG en fonction du paramètre phénoménologique $\alpha$ ( qui assure la décroissance de l’énergie des solutions régulières). Lorsque $\alpha$ tend vers 0, on démontre que le problème limite est donné par le modèle gyromagnétique initialement introduit pour modéliser les matériaux ferromagnétiques. Lorsque le paramètre $\alpha$ tend vers l’infini alors en utisant une renormalisation de l’échelle du temps dans LLG on déduit l’équation d’amortissement de Landau-Lifshitz où seul le terme d’amortissement dans LLG intervient.
Matériaux ferromagnétiques et piezoélectriques
Dans un matériau ferroélectrique le champ de dépalement contient un terme supplementaire qui est la polarisation électrique. Le point de départ de cette étude est le modèle proposé par Coofman, Greenberg et Mac Camy. Il s’agit d’un système formé par deux équations de Maxwell, non linéaires et couplées via le champs électrique et la polarisation électrique. Avec H. Ammari nous avons démontré l’existence globale de solutions et établi la régularité $H^1$ des solutions sur l’intervale de temps $[0,T]$ pour tout $T$ fixé pour la condition aux limites $P\times n= 0$. Sous cette condition les champs de Maxwell ($P \in L^2$, $\nabla\times P \in L^2$ et $\nabla\cdot P \in L^2$ satisfont $P \in H^1$. \\ Dans le cadre dec sa thèse (inachevée), I. Ngningone s’est intéressée aux solutions harmoniques en tempps du système. Dans un travail de collaboration, nous avons démontré l’existence de solutions pour toute fréquence $\omega > 0$, établi l’unicité des solutions pour des fréquences qui sont au delà d’un seuil $\omega_*$ et obtenu la régularité $H^1$ des solution pour des fréquence qui sont au delà d’un seuil $\omega_**$ plus grand que le précédent. Il est important de noter que ces résultats sont obtenus pour la condition aux limites $P\times n = 0$. La démonstration repose sur l’étude précise des équations de compatibilité du système.\\ I. Ngningone a ensuite considéré les approximaions TE et TM du mod\ ele. Ce la conduit à un système d’équation de Helmholtz couplées. Une étude complète de ce problème a été faite par I. Ngningone et nous avons obtenu l’existence de solutions et établi le comportement limite à basses fréquences ($\omega \to 0)$ des solutions. \\ Dans un travail de collaboration avec N. Aissa, nous avons considéré le problème de la réduction $3D$-$2D$ d’un matériau ferroélectrique mince quand l’épaisseur tend vers $0$. Nous avons obtenu le problème limite dans le cas de potentiels $\phi$ linéaires. Le cas général se heurte à la question de la compacité des solutions des champs électrique et de polarization électrique. N. Aissa s’est intéréssée ensuite à la régularité jusqu’au bord des champs de Maxwell dans le cas d’ouverts de frontière Lipchitzienne et avec l’hypothèse $P\times n \in L^2(\partial\Omega)$. La régularité des solutions du système de matériaux ferroélectriques proposé par Coofmann Greenberg et Mac Camy reste non résoulue dans le cas de la condition aux limites naturelle. Face à ces difficultés avec N. Aissa nous avons introduit un nouveau modèle en imposant au champ polarisé la contrainte d’incompréssibilité . Cela conduit dans le cadre de solutions harmonique en temps à un système formé formé par une équation de Helmhotz pour le champ électrique et une équation du type Stokes (non linéaire) satisfaite par le champ de polarisation. Nous avons établi l’exitence et la régularité des solutions. Avec D. Hamroun de l’université d’Alger, nous avons considéré le modèle de matériaux piezo-éléctriques proposé par F. Davi. Il s’agit d’un système formpé d’une équation des ondes couplée à a une equation de diffusion. Le couplage est fait au niveau de la vitesse de propagation des ondes et an niveau du terme d’interaction dans l’équation de la chaleur. Nous avons considéré le problème de Cauchy. Ce sytème a la particularité de n’avoir, à notre connaissance, aucun invariant évident. Nous avons établi un théorème d’existence locale en temps de la solution du problème en procédant comme suit. L’énergie élastique satisfaite par $u$ contient un terme de dissipation du type $\int\partial_t n |\partial_x|^2 dx$. Nous avons recherché les conditions pour lesquelles on a $\partial_t n \leq 0$ et $n \geq 0$ ce qui garantit la décroissance de l’énergie. Ces conditions sont satisfaites si à l’instant initial les données sont telles que $n_0 \geq F_0$, $\partial_x^2 n_0 - \partial_x u_0 \leq - F_0$ o\`u $F_0>0$ est une constante.
Harmoniques de seconde génération
N.Aissa s’est intéresée à un prolème posé par la génération des harmoniques secondes. Le phénomène de la génération des harmoniques secondes est un processus d’optique non-linéaire dans lequel les photons d’un faisceau incident intéragissent avec un matériau non-linéaire et se combinent pour former de nouveaux photons avec le double de l’énergie, donc avec le double de la fréquence ou la moitié de la longueur d’onde des photons initiaux. On considère un matériau hétérogène $\Omega$ formé par d’un matériau non-linéaire et d’une non-linéarité représentée par une boule de centre $x_0$ et de rayon $r$. On s’intéresse au comportement asymptotique, lorsque $r\rightarrow 0$, des approximations TE et TM de la génération de seconde harmonique sur $\Omega$ proposées par Bao et Dobson. On montre d’abord dans les deux cas qu’il y a existence et unicité d’une solution. Le résultat d’existence établi par N.Aissa généralise celui Bao-Dobson au cas où les susceptibilités ne sont pas petites. Elle montre ensuite que le problème limite est un système découplé formé par les équations de Helmholtz. Elle donne enfin un développement asymptotique de la solution et note que le premier correcteur fait intervenir des tenseurs de polarisation et une concentration de la solution au point $x_0$ ainsi que des termes non-linéaires apparaissant dans l’équation initiale.
Les fluides magnétiques ou ferrofluides ont de nombreuses applications industrielles et peut être médicales. Il s’agit d’un écoulement diphasique composé d’une suspension de particules ferromagnétiques, de même taille nanométrique, évoluant dans un fluide Newtonien appelé transporteur. Ces solutions commencent à être conçus pour le traitement médical mais cela reste largement expérimental. Le principe théorique de ce traitement est le suivant. La solution colloïdale est injecté dans l’artère du patient et, sous l’action d’un champ magnétique extérieur, les particules sont transportées vers la cible malade pour s’y aglomérer. Le modèle macroscopique (sang, suspension à particules ferromagnétiques) est décrit par la vitesse $ U$ du fluide satisfaisant e l’équation de Navier-Stokes de l’équation, par l’aimantation $M$ du fluide, qui est supposé aimanté, vérifiant l équation de Bloch, du moment d’inertie ou angulaire $\Omega$ satisfaisant une equation de type convection-diffusion et le champ magnétique $H$ vérifiant dans tout l’espace les équations de Maxwell. On règle générale on considère l’approximation magnétostatique de ces équations. Le couplage entre ces se fait à travers la force de Kelvin intervennt comme terme de source dans l’équation de Navier-Stokes et des termes de retournement intervenat dans l’équation de loch et dans l’équation du moment angulaire. La force de Kelvin est donnée par $( M\cdot \nabla) H$, c’est le gradient d champ magnétique dans la direction de l’aimantation. Avec Y. Amirat et F. Murat nous avons étudié le modèle complet incompressible appelé modèle de Rosensweig et démontré un résultat d’existence globale de solutions faibles d’energie finie. Avec Y. Amirat nous avons considéré le modèle incompressible de Shliomis déduite du modèle de Rosensweig en supposant le le moment angulaire du fluide valait la moitié du vecteur tourbillon. Un terme trilinéaire de retournement, phénomenologique et comparable à celui apparaissant dans les équations de Landau-Lifshitz, est ajouté à l’équation de Bloch. Nous avons que ce modèle est bien posé pour tout temps. Dans un travail récent avec Y. Amirat, nous avons considéré le modèle de Rosensweig compressible. En s’inspirant des résultats P. L. Lions, Feirseil, Novotny sur la dynamique des fluides compressibles nous avons étabi un résultat d’existence globale de solutions fables d’energie finie.
Projets et axes d’avenir
Modèle compressibles pour les fluides magnétiques.
Modèle diphasique pour les fluides magnétiques.
Etudes des instabilités dans un écoulement ferrofluide.
Mouvement d’une sphère magnétique dans un fluide visqueux incompressible.
Modélisation cinétique de l’écoulement d’une solution colloidale dans un fluide visqueux incompressible.
Publications
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