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Activités de Recherche
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Optimisation des fréquences propres
; Thème Suivant >> Lorsque la fonctionnelle à optimiser est une fonction linéaire des plus petites valeurs propres du système, on peut employer des techniques analogues à celles développées pour l’énergie élastique. Dans ce cas, on veut maximiser les fréquences propres les plus basses. Les premières valeurs propres du système de l’élasticité étant caractérisées par un principe de minimisation (quotient de Rayleigh), on obtient donc un problème de type ``min-max’’, plus délicat à (...)
Optimisation de structures par homogénéisation
Thème Suivant >> L’optimisation de formes a connu un regain d’intérêt ces dernières années grâce aux techniques d’homogénéisation. Le problème modèle de l’optimisation de formes - trouver la forme la plus légère possible sous une contrainte de rigidité minimale - mène à des formulations mathématiques mal posées où l’existence de solutions n’est pas assurée par manque de semi-continuité inférieure de la fonctionnelle à minimiser. Les suites minimisantes ne convergent pas vers des éléments (...)
Autres fonctions-objectif - relaxation partielle
; Thème Suivant >> Pour des fonctions-objectif générales, le problème n’est plus autoadjoint. Sa résolution implique donc le calcul de l’état adjoint associé à la fonction coût. Cet état adjoint permet d’éviter le calcul de la dérivée de la solution de l’EDP.
Fonctionnelle dépendant du champ de déplacement
; Thème Suivant >> Pour une fonction-objectif égale à la norme $L^p$ du déplacement, on peut écrire le problème relaxé pour $1 \le p +\infty$ en 2d et $1 \le p 6$ en 3d, et exprimer les conditions d’optimalité en fonction de la solution du problème direct et du problème adjoint. Contrairement au cas de la compliance, pour lequel on sait décrire explicitement des composites (matériaux laminés séquentiels) qui atteignent les bornes de l’énergie élastique, on ne peut pas en déduire (...)
Fonctionnelle dépendant du champ de contraintes
; Thème Suivant >> En plus des critères énergétiques ou dépendant du champ de déplacement, il peut être utile de savoir minimiser une fonctionnelle dépendant du champ de contrainte. Un critère pertinent pour les mécaniciens ou les industriels est, par exemple, la minimisation des contraintes de Von Mises.
G. Allaire, F. Jouve et H. Maillot ont étudié le cas où la fonction-cout est la norme $L^2$ du tenseur des contraintes. Comme précédemment, on peut écrire le problème relaxé en (...)
Champs d’application et perspectives
; Thème Suivant >>
Les champs d’application des méthodes topologiques d’optimisation de formes sont très nombreux et variés. Citons par exemple le lien avec les applications dans le domaine de l’ophtalmologie qui sont décrites plus bas.
Mais un des domaines où ces méthodes risquent de trouver des applications spectaculaires est la conception de MEMS (Micro Electro Mecanical Systems). Il s’agit de dispositifs de taille inférieure au millimètre qui sont gravés sur Silicium. A cette (...)
Optimisation de formes par la méthode de lignes de niveaux (level-set)
; Thème Suivant >> G. Allaire et F. Jouve (en collaboration avec A.M. Toader de l’Université de Lisbonne) étudient des problèmes d’optimisation de formes en utilisant une représentation des formes par level-set. L’idée est de reprendre les résultats fondateurs d’Hadamard au début du 20e siècle et de Murat-Simon de la fin des années 70 concernant l’optimisation de formes dite ``classique’’ (aussi appelées méthodes de variation de frontière ou de variation de domaine), et de les adapter (...)
Optimisation de formes en faible amplitude
; Thème Suivant >> Lorsque l’on optimise le mélange de deux matériaux la relaxation de ce problème d’optimisation de formes nécessite des résultats profonds d’homogénéisation qui ne sont pas toujours ni disponibles ni faciles. Néanmoins si l’on suppose que les deux phases ont des propriétés très proches (on dit que le contraste est faible ou que l’amplitude des variations est faible), alors il est possible de simplifier considérablement le problème en effectuant un développement de (...)
Homogénéisation en diffusion et transport
; Thème Suivant >> G. Allaire et ses collaborateurs (G. Bal, Y. Capdeboscq, A. Piatnitski, V. Siess) s’intéressent à l’homogénéisation d’équations de diffusion ou de transport de type réaction-diffusion. Une application importante est la neutronique appliquée aux calculs de réacteurs nucléaires (qui fait l’objet d’une convention de collaboration avec le CEA Saclay). L’idée est d’utiliser l’homogénéisation pour simplifier les calculs numériques de criticité des coeurs de réacteurs. Les (...)
Homogénéisation et masse effective en mécanique quantique
; Thème Suivant >> G. Allaire et ses collaborateurs (M. Palombaro, A. Piatnitski, M. Vanninathan) s’intéressent à l’homogénéisation des équations de Schrödinger dans un potentiel périodique modélisant, par exemple, un cristal atomique. En couplant des techniques de convergence à deux échelles et d’ondes de Bloch ils ont obtenu des résultats d’homogénéisation justifiant la notion de masse effective d’un électron dans un cristal périodique. Ce résultat nouveau correspond à une nouvelle (...)
Simulation d’écoulements diphasiques avec interfaces
; Thème Suivant >> La simulation numérique des écoulements diphasiques a atteint un pallier avec les modèles actuels, dits homogénéisés, à 4 ou 6 équations (modèle à flux de dérive ou bi-fluide), dans lesquels en tout point de l’espace il y a cohabitation des deux phases. Malgré le succès de ces modèles, un certain nombre de phénomènes physiques aux conséquences macroscopiques importantes sont impossible à simuler : en particulier, la crise d’ébullition sur une paroi chauffante qui (...)
Méthodes d’éléments finis multi-échelles
; Thème Suivant >> G. Allaire et R. Brizzi s’intéressent aux algorithmes de simulation ``directe’’ de phénomènes multi-échelles permettant d’effectuer une procédure d’homogénéisation numérique. Les applications visées sont, dans un premier temps, des équations de transport, de Darcy, et de convection-diffusion.
L’approche traditionnelle des calculs homogénéisés consiste à établir dans un premier temps des coefficients effectifs ou macroscopiques (obtenus à l’aide de la structure fine (...)
Modélisation des structures minces
; Thème Suivant >> O. Pantz étudie le comportement mécanique de structures minces élastiques non-linéaire. Il a montré en particulier que le modèle tridimensionnel usuel peut-être remplacé par un modèle bi ou monodimensionnel lorsque l’une des grandeurs caractéristiques de la structure est très petite relativement aux autres. Afin de justifier ce procédé, deux voies différentes on été développées : tout d’abord une méthode formelle, qui consiste à résoudre une suite de problèmes de (...)
Modélisation des contacts et auto-contacts sans frottements en mécanique des milieux déformables
; Thème Suivant >> La modélisation des contacts et auto-contacts sans frottements en mécanique des milieux déformables, malgré son importance, a été curieusement l’objet de très peu de travaux théoriques. En regard, le nombre de travaux purement numériques traitant de ce sujet est impressionnant. De nombreux algorithmes numériques ont été développés de manière heuristique pourrépondreauxbesoins des industriels. La plus importante contribution théorique a été apportée par Ciarlet et (...)
Régularité elliptique pour des milieux contenant des inclusions régulières
; Thème Suivant >> Dans un travail en collaboration, E. Bonnetier et M. Vogelius (Rutgers), avaient étudié la régularité du gradient de la solution d’une équation elliptique [IMAGE png] posée dans un domaine borné de [IMAGE png]. Le coefficient [IMAGE png] représente un milieu contenant des inclusions et est égal à une constante [IMAGE png] dans les inclusions et vaut [IMAGE png] dans la `matrice’. Dans le cas d’un problème de cisaillement antiplan, le vecteur [IMAGE png] représente (...)
Instabilités morphologiques dans les films cristallins
; Thème Suivant >> L’objet de cette étude est la modélisation d’instabilités dans les processus de croissance épitaxiale de films minces sur un substrat plan. On observe expérimentalement que la surface libre du film est parfaitement plane lorsque son épaisseur est petite. La surface libre se déforme et se plisse lorsque l’épaisseur dépasse un seuil critique.
Le problème est modélisé par la compétition de deux termes antagonistes dans l’expression de l’énergie totale du système : (...)
Mouvements de fronts, courbure cristalline
; Thème Suivant >> D’une façon plus théorique, A. Chambolle a étudié divers problèmes liés à la minimisation du périmètre d’un ensemble, isotrope ou anisotrope (voire ``cristallin’’ quand il s’agit de modéliser la tension superficielle d’un solide monocristallin). Avec F. Alter et V. Caselles, il a étudié la ``calibrabilité’’ des ensembles convexes (dans le plan puis dans [IMAGE png]) : il s’agit des ensembles qui sont vecteurs propres pour le sous-gradient de la variation totale, qui (...)
Étude des fractures dans les matériaux élastiques
; Thème Suivant >> En collaboration avec A. Giacomini et M. Ponsiglione (financé par le réseau MULTIMAT), A. Chambolle étudie des problèmes mathématiques liés à l’existence et à la croissance des fractures dans les matériaux élastiques. Un premier résultat (preprint CMAP 583, soumis) tente de montrer que dans le cadre de la théorie de Griffith, l’initiation d’une fracture n’est jamais possible, en l’absence de singularités fortes, sans aucune hypothèse a priori sur la forme des (...)
Optimisation de formes pour les guides d’ondes dans les cristaux photoniques
; Thème Suivant >> Il s’agit d’un nouvel axe de recherche. Il a donné lieu à une ACI « Nouvelles Interfaces des Mathématiques », au financement quasi-symbolique : GUIDOPT « Optimisation de formes pour les guides d’onde dans les cristaux photoniques » et concerne G. Allaire et F. Jouve ( en collaboration avec H. Benisty, physicien de l’Institut d’Optique). Depuis septembre 2005 un étudiant libanais (E. Hachem) a commencé une thèse sur ce thème. L’enjeu est d’adapter les techniques (...)
Développement d’Outils de conception et de PROcédés technologiques adaptés à la réalisation de Composants analogiques Optimisés en Forme (Doprocof)
; Thème Suivant >> Il s’agit d’un nouveau projet, soutenu par l’ANR depuis novembre 2005, dans lequel est impliqué F. Jouve et le laboratoire IRCOM de Limoges. L’objectif est de mettre au point un procédé technologique et des outils de conception permettant de maîtriser la réalisation de dispositifs passifs hautes performances en bandes millimétriques et térahertz. Des verrous sont en effet actuellement identifiés en particulier pour la réalisation de filtres bande étroite au-delà de (...)
Modélisation de l’apparition d’instabilités géologiques (stylolites)
; Thème Suivant >> En 2004-05, Lucie Baudouin a effectué un stage post-doctoral dans l’équipe sur une modélisation mathématique et numérique de l’apparition de certaines instabilités géologiques appelées « stylolites » qui sont semble-t-il très importantes pour les géologues. Les calculs numériques ont été abordés conjointement par une méthode directe de type variation de frontière et une représentation par level set. Les résultats sont en cours de validation et un article en cours de (...)
Correcteurs pour des matériaux fibrés avec distorsion
; Thème Suivant >> Ce travail est l’objet de la thèse de F. Khayat encadrée au CMAP par E. Bonnetier. Le sujet consiste en l’étude de l’influence de la distorsion longitudinale des fibres dans un matériau composite : plus précisément, on s’intéresse à une équation de conduction où les coefficients dépendent de deux échelles : l’espacement des fibres (de taille [IMAGE png]) et la période de leur distorsion de taille [IMAGE png]. Mous avons donné une représentation intégrale du potentiel (...)
Modélisation d’opérations de chirurgie réfractive
; Thème Suivant >> F. Jouve participe depuis 1998, en collaboration avec K. Hanna, chirurgien à l’Hôtel Dieu, et en partenariat avec la société ``Human Optics’’ de Nuremberg (site internet http://www.humanoptics.com/) à la mise au point de nouveaux implants intra-capsulaires pour l’opération de la cataracte. Ce type d’implant fonctionne comme un cristallin artificiel et offre au patient une capacité d’accommodation au moins partielle (contrairement aux implants actuels qui sont des (...)
Elastodynamique non-linéaire et méthodes multi-échelles
; Thème Suivant >> Dans le cadre d’une convention CIFRE avec Michelin, P. Hauret s’est intéressé aux schémas d’intégration en temps pour l’élastodynamique non-linéaire ainsi qu’aux méthodes multi-échelles et à leurs préconditionneurs. Le but est de pouvoir calculer pour un coût raisonnable le comportement dynamique du pneu en tenant compte des structures très fines comme par exemple les (...)
Optimisation multi-objectif et contraintes
; Thème Suivant >> Il existe des similarités certaines entre contraintes et multi-objectifs : les contraintes inégalité peuvent être considérées comme autant d’objectifs, avec la différence que seules les solutions en deçà d’une certaine valeur sont considérées comme valides. D’un autre côté, les problèmes multi-objectifs peuvent être vus comme une série de problèmes sous contraintes, en particulier lorsque le front de Pareto (c’est-à-dire l’ensemble des solutions telles qu’aucune (...)
Algorithmes génétiques : apprentissage pour l’optimisation
; Thème Suivant >> Les algorithmes évolutionnaires sont des algorithmes d’optimisation stochastiques d’ordre 0 qui s’appliquent à des espaces de recherche non-standards, par exemple combinant des variables continues et discrètes. Ces algorithmes sont utilisés pour résoudre des problèmes difficiles où ils permettent souvent de proposer de meilleures solutions que les algorithmes classiques d’optimisation - lorsque ces derniers s’appliquent. Leur principal point faible est la nécessité (...)
Projets et axes d’avenir
L’équipe va poursuivre ses travaux dans les domaines décrits ci-dessus. En particulier, l’étude des propriétés fines des matériaux est un domaine de recherche en pleine expansion, où les applications sont nombreuses et les enjeux technologiques importants.
Pour les problèmes d’optimisation topologique, une combinaison des méthodes d’homogénéisation et des lignes de niveaux semble prometteuse, de même que l’incorporation du concept de gradient topologique pour la nucléation de nouveaux (...)
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