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TP2-3 - Exercices de programmation en Scilab

I - Simulation de variables aléatoires continues

• Par la méthode d'inversion de la fonction de répartition, simuler des variable aléatoires de lois
  1. exponentielles ;
  2. de Cauchy.
• Tracer leurs histogrammes empiriques et
• comparer avec la densité théorique.

1. [expo.sce]

   

2. [cauchy.sce] à faire !
   La loi de Cauchy est de densité x --> 1 ./ (1 + x^2) / %pi
   Oups.. attention, utiliser la division terme à termes ./ et bien mettre un espace entre le 1 et ./

   

II - Non vieillissement d'une loi exponentielle

Soit T une variable aléatoire de loi exponentielle, si t > 0 alors, conditionnellement en l'événement {T > t}, la variable positive T - t est de même loi que T.
Le vérifier en comparant l'histogramme d'une simulation avec la densité théorique. Corrigé.

III - Simulation de variables aléatoires discrètes (1)

À partir d'un recensement (États-Unis 1920) les probabilités p(k) d'avoir k-1 fils ont été estimées :

    p(1) = 0.4982   p(2) = 0.2103  p(3) = 0.1270
    p(4) = 0.0730   p(5) = 0.0418  p(6) = 0.0241
    p(7) = 0.0132   p(8) = 0.0069  p(9) = 0.0035
    p(10)= 0.0015   p(11)= 0.0005  p(k) = 0.0000  si k > 11

p = [ 0.4982, 0.2103, 0.1270, 0.0730, 0.0418, ..
      0.0241, 0.0132, 0.0069, 0.0035, 0.0015, 0.0005 ]; 

1. Écrire le code d'une fonction Scilab simulant une variable aléatoire X de loi P(X = k) = p(k). Corrigé
2. Tracer l'histogramme d'un grand nombre de tirages indépendants.
3. Comparer avec les probabilités théoriques p(k).

   

4. Calculer l'espérance de X et comparer avec la moyenne empirique des tirages.
5. Même question pour la variance.