• billon1.pdf documentation Scilab du LM206

• billon2.pdf une documentation plus copieuse

• www.scilab.org le site officiel de Scilab (téléchargement, documentations... )

Exercices de programmation en Scilab

Méthode de rejet - LGN - TCL - Méthode de Monte Carlo

I - Simulation de variables aléatoires continues par la méthode du rejet

La densité de la loi de Wigner (ou du demi-cercle) est la fonction x --> sqrt(4-x^2)/(2*%pi) sur [-2,+2].

• Par la méthode du rejet, simuler des variables aléatoires de loi de Wigner. Corrigé.
• Tracer leurs histogrammes empiriques et comparer avec la densité théorique. Corrigé.

II - Loi des grands nombres

On rappelle que si (X_n) est une suite de variables aléatoires indepéndantes identiquement distribuées et ayant une espérance m, alors (X_1+...+X_n)/n converge presque sûrement vers m lorsque n tend vers l'infini.

a) Simuler un grand nombre N de variables aléatoires de loi uniforme sur [0,1], tracer sur un même graphe la représentation de la suite (X_1+...+X_n)/n (pour n variant de 1 à N) et la courbe d'équation y=m, et observer cette convergence. Corrigé.

b) Faire de même pour des variables aléatoires de loi de Wigner (cf exercice précédent). Corrigé.

c) Faire de même pour des variables aléatoires à valeurs dans [0,1] de densité la fonction f(x)=2x sur [0,1], que l'on simulera non avec la méthode du rejet mais en inversant sa fonction de répartition (cf TP1). Corrigé.

III - Théorème central limite

On rappelle que si (X_n) est une suite de variables aléatoires indepéndantes identiquement distribuées et de carré intégrable, d'espérance et écart type communs notés respectivement m et s, alors en notant S_n=(X_1+...+X_n)/n, sqrt(n)(S_n-m)/s converge en loi vers la loi gaussienne standard lorsque n tend vers l'infini. Cela signifie que pour n assez grand, S_n-m est approximativement distribuée comme une variable aléatoire normale standard multipliée par s/sqrt(n). Ainsi, comme la probabilité qu'une variable aléatoire normale standard soit de valeur absolue inférieure ou égale à 1.96 est de 95%, on sait que pour n assez grand, la probabilité que S_n soit à une distance supérieure à 1.96*s/sqrt(n) de m est approximativementd de 5%.

a) Lorsque la loi des X_i est la loi uniforme sur [O,1], visualiser la convergence en loi de sqrt(n)(S_n-m)/s vers la loi gaussienne standard avec un histogramme. Rappel: la densité de la loi gaussienne standard est la fonction f(x)=(exp(-x^2/2))/sqrt(2*%pi) sur R. Corrigé.

b) Simuler un grand nombre N de variables aléatoires de loi uniforme sur [0,1], tracer sur un même graphe la représentation (pour n variant de 1 à N) des suites S_n, m+1.96*s/sqrt(n), m-1.96*s/sqrt(n), et la courbe d'équation y=m, et observer ce phénomène. Corrigé.

c) Faire de même pour des variables aléatoires de loi de Wigner (cf exercice 1). Indication : leur écart type vaut 1. Corrigé.

d) Faire de même pour des variables aléatoires à valeurs dans [0,1] de densité la fonction f(x)=2x sur [0,1], que l'on simulera non avec la méthode du rejet mais en inversant sa fonction de répartition (cf TP1). Corrigé.

IV - Calcul d'intégrales par la méthode de Monte-Carlo

En utilisant la méthode de Monte-Carlo à partir de v.a. uniformes sur [-2,2], calculer l'intégrale des fonctions cos(%pi*x)*sqrt(4-x^2), x^2*sqrt(4-x^2), x^4*sqrt(4-x^2), sur [-2,+2]. Corrigé. Corrigé avec figures, par Gaelle Mondat.