Calcul Scientifique (Cours MA201, ENSTA)

Programme du cours

1. Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique (r\'esum\'e)
2. Rappels et compl\'ements sur les distributions et espaces de Sobolev.
• Distributions : d\'efinition, d\'erivation, convergence
• Distributions et fonctions localements int\'egrables
• Espaces de Sobolev : d\'efinition, quelques propri\'et\'es
• Applications traces
3. Formulations variationnelles de probl\`emes aux limites.
• Probl\`emes variationnels abstaits et th\'eor\`eme de Lax-Milgram
• Application au probl\`eme de Dirichlet pour le Laplacien : in\'egalit\'e de Poincar\'e
4. Introduction \`a la m\'ethode des \'el\'ements finis
• Approximation de Galerkin et lemme de C\'ea
• Principe des \'el\'ements finis
• Approximation de H¹ par les \'el\'ements finis de Lagrange
• Erreur d'interpolation
• Estimations d'erreur
5. Aspects pratiques de la m\'ethode des \'el\'ements finis
   • Introduction \`a l'assemblage.
   • Tutorial sur l'utilisation du mailleur emc2
   • Exemple de structuration d'un programme \'el\'ements finis
   • D\'emo sur la convergence de la m\'ethode des \'el\'ements finis
6. Compacit\'e et alternative de Fredholm. Application \`a certains probl\`emes non coercifs
• Equation de Helmholtz.
• D\'ecomposition spectrale d'op\'erateurs compacts autoadjoints.
• Alternative de Fredholm : cas autoadjoint
7. Equation de Helmholtz et son approximation par \'el\'ements finis
• Alternative de Fredholm : cas g\'en\'eral.
• Application \`a certains probl\`emes variationnels non coercifs
• Approximation de Galerkin et lemme de C\'ea
8. Probl\`emes d'\'evolutions paraboliques : Equation de la chaleur 1D et sch\'emas aux differences finis
9. Equation de transport lin\'eaire. M\'ethode des caract\'eristiques.
• Exemples de sch\'emas num\'eriques
10. Introduction aux \'equations hyperboliques non lin\'eaires.
11. Th\'eorie pour l'hyperbolique non lin\'eaire
12. Sch\'emas num\'eriques pour l'hyperbolique non lin\'eaire
• Sch\'emas num\'eriques pour l'\'equation de Bürgers

Travaux Dirig\'es

• TD 1 -- Introduction aux EDP et aux diff\'erences finies (\'enonc\'e, corrig\'e)


• TD 2 -- Distributions et espaces de Sobolev (\'enonc\'e, corrig\'e)


• TD 3 -- Formulations variationnelles (\'enonc\'e, corrig\'e)


• TD 4 -- El\'ements finis en dimension 1 et 2 (\'enonc\'e, corrig\'e)


• TD 5 -- Pratique des \'el\'ements finis (\'enonc\'e, corrig\'e)


• TD 6 -- Alternative de Fredholm (\'enonc\'e, corrig\'e)


• TD 7 -- Alternative de Fredholm (suite) (\'enonc\'e, corrig\'e)


• TD 8 -- Approximation des probl\`emes paraboliques (\'enonc\'e, corrig\'e)


• TD 9 -- Sch\'emas num\'eriques pour l'\'equation de transport (\'enonc\'e, corrig\'e)


• TD 10 -- M\'ethode des caract\'eristiques pour l'\'equation de transport lin\'eaire (\'enonc\'e, corrig\'e)


• TD 11 -- R\'esolution analytique d'\'equations hyperboliques non lin\'eairesen 1D (\'enonc\'e, corrig\'e)


• TD 12 -- Sch\'emas num\'eriques pour les \'equations hyperboliques non lin\'eaires (\'enonc\'e, corrig\'e)

Projets

• Rapport interm\'ediaire sur la partie th\'eorique : a rendre au responsable du projet le 24/01/06.
• Rapport final et soutenance le 3/03/06.

• Patrick Joly
  
  
  • Projet 1 -- Une m\'ethode des domaines fictifs
  • Projet 2 -- Propagation d'ondes acoustiques dans un guide de section variable
  • Projet 3 -- Simulation num\'erique de la propagation de la houle
  
  
  
• Houssem Haddar
  
  
  • Projet 4 -- M\'ethode des \'el\'ements finis discontinus
  • Projet 5 -- Approximation paraxiale de l'\'equation des ondes
  • Projet 6 -- Acoustique en \'ecoulement
  
  
  
• Gregoire Derveaux
  
  
  • Projet 7 (disponible le 13/12/05) -- Propagation d'onde en milieu diffusant
  • Projet 8 (disponible le 13/12/05) -- Flexion d'une plaque mince
  • Projet 9 (disponible le 13/12/05) -- M\'ethode PML pour un guide d'onde
  
  
  
• Abdelaaziz Ezziani
  
  
  • Projet 10 -- Etude des ondes de volume et de surface dans un milieu \'elastique homog\`ene, isotrope
  • Projet 11 -- R\'esolution d'un probl\`eme statique (temp\'erature) et d'un probl\`eme stationnaire (ondes harmoniques) en milieu h\'et\'erog\`ene
  • Projet 12 -- Calcul du champ \'electromagn\'etique en pr\'esence d'un objet parfaitement conducteur
  
  
  
• V\'eronique Duwig
  
  
  • Projet 13 -- Raffinement de maillage pour un couplage entre deux fluides diff\'erents
  • Projet 14 -- R\'esolution num\'erique de l'\'equation de la diffusion neutronique
  • Projet 15 -- Etude de la propagation d'une onde dans une tige m\'etallique h\'et\'erog\`ene
  
  
  
• Pascal Omnes
  
  
  • Projet 16 (disponible le 13/12/05) -- Oscillations parasites et rem\`edes pour le probl\`eme de convection-diffusion et le prol\`eme de Stokes
  • Projet 17 (disponible le 13/12/05) -- Equation de Poisson avec second membre singulier: r\'esolution num\'erique d'un mod\`ele approch\'e en physique des plasmas
  • Projet 18 (disponible le 13/12/05) -- Conservation de la charge et approximation num\'erique en \'electomagn\'etisme