\section{Techniques de valorisation d'options}\label{financedebut}
\subsection{Options sur taux d'intérêt} %{\small (B. Lapeyre, D. Talay)}

\noindent On commencera par étudier en détail le modèle de Vasicek.
On s'intéressera au problème d'évaluation et de couverture dans ce
cadre. On montrera que le formalisme de réplication parfaite est
vérifié et conduit à des formules relativement simples pour le prix
des zéro-coupons (cf. cours de N. El Karoui) et des options \og
vanilles\fg. On vérifiera par simulation l'existence d'un panier de
couverture (diverses stratégies seront envisagées et implémentées).
On pourra par la suite aborder des modèles plus complexes à
plusieurs facteurs ou
de type \og Heath, Jarrow, Morton\fg.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] D. Brigo, F. Mercurio, {\it Interest rate models -
theory
and practice}, Springer.\\
\noindent [2] N. El Karoui, {\it Cours de l'\'Ecole Polytechnique},
Fascicule Finance.\\
\noindent [3] N. El Karoui, J.C. Rochet, {\it A pricing formula
for options on coupon bonds}, 1989.\\
\noindent [4] D. Heath, R. Jarrow, A. Morton, {\it Contingent claim
valuation with a random evolution of interest
rate}, Rev. Future Markets, 9(1), p. 54-76, 1990.\\
\noindent [5] D. Heath, R. Jarrow, A. Morton, {\it Bond pricing and
the term structure of interest rates: A new methodology for
contingent claim valuation}, Econometrica, 6, p. 77-106, 1992.

\subsection{Options de change} %{\small (B. Lapeyre, D. Talay)}

\noindent Le but de ce travail sera de voir comment l'on peut
valoriser des options portant sur des cours de change. L'approche
traditionnelle repose sur le modèle de Garman-Kohlagen qui est une
variante du modèle de Black-Scholes. On commencera par étudier la
valorisation et la couverture des puts et des calls dans ce modèle.
Puis, on vérifiera dans ce cadre l'intérêt de la notion de
changement de numéraire en prouvant l'invariance du prix par
changement de devise. Par la suite, on pourra étudier des options
plus compliquées introduites pour faire face
au risque de change comme les options quanto.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] T. Cherif, N. El Karoui, {\it Arbitrage multidevise,
applications aux options quanto}, 1993.\\
\noindent [2] N. El Karoui, {\it Cours de l'\'Ecole
Polytechnique}, Fascicule Finance.\\
\noindent [3] M. Musiela, M. Rutkowski, {\it Martingale Methods in
Financial Modelling}, Springer, 1997.



\subsection{Options sur indices }

\noindent Les options sur indices boursiers font intervenir un
nombre d'actifs très important (plusieurs dizaines voire centaines).
Dans ces conditions, les techniques numériques traditionnelles sont
inopérantes et les méthodes de Monte-Carlo s'imposent. On étudiera
ces questions en supposant que les actifs suivent des modèles de
Black-Scholes, couplés de façon simple. On commencera par prouver
l'existence d'un prix de réplication et d'un portefeuille de
couverture dans ce modèle. Par la suite, le but sera de comprendre
et d'implémenter des raffinements de méthodes de Monte-Carlo
permettant de calculer le
prix et les couvertures de ces options.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] R. Carmona, V. Durrleman, {\it Generalizing the
Black-Scholes formula to multivariate contingent claims}, Journal
of Computational Finance, 9(2), p. 43-67, Winter 2005-2006.\\
\noindent [2] P. Glasserman , {\it Monte Carlo Methods in Financial
Engineering}. Stochastic Modelling and Applied Probability, 53,
Springer.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Options vacances}

\noindent Dans un article r\'ecent, S. Shreve propose l'introduction
de nouvelles options exotiques et d\'efinit les strat\'egies que
doivent utiliser les acheteurs et les vendeurs de telles options. On
\'etudiera la construction de ces strat\'egies et leurs
propri\'et\'es et on effectuera une \'etude statistique des gains
que peut s'assurer le vendeur d'une telle option face \`a un
acheteur qui ne g\`ere pas au mieux ses propres int\'er\^ets.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] V. Henderson, D. Hobson, {\it Local time, coupling and
the passport
option}, Finance and Stochastics, 4, p. 69-80, 2000.\\
\noindent [2] S. Shreve, J. Vecer, {\it Options on a traded account:
Vacation calls, vacation puts and passport options}, Finance and
Stochastics, 4, p. 255-274, 2000.

\subsection{Options barrière} %{\small (E. Gobet, S. Menozzi)}

\noindent Les options barri\`ere sont des options classiques
assorties d'une clause du type: l'option ne peut \^etre exercée que
si le sous-jacent a franchi (ou n'a pas d\'epass\'e) un niveau fixé
dans le contrat. Elles représentent actuellement 25 $\%$ des options
de change. Une raison de ce succ\`es est leur prix, moins élevé que
celui d'une option standard. Dans le cas particulier du mod\`ele
log-normal, il existe des formules explicites. La
couverture de telles options est délicate. Points \`a aborder :\\

\noindent- formule explicite dans le cas log-normal,

\noindent- obtention de l'EDP régissant les options barri\`ere,

\noindent- approximation numérique par Monte Carlo,

\noindent- gestion de la couverture.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] P. Carr, K. Ellis, V. Gupta, {\it Static hedging of
exotic options}, The Journal of Finance, 53, p. 1165-1190, 1998.\\
\noindent [2] P. Glasserman, {\it Monte Carlo Methods in Financial
Engineering},
Stochastic Modelling and Applied Probability, 53, Chapitre 6, Springer.\\
\noindent [3] S. Metwally, A. Atiya, {\it Using Brownian bridge for
fast simulation of jump-diffusion processes and barrier options},
The Journal of Derivatives, p. 43-54, Fall 2002.


%%%%%% Refs rajoutees concernant la couverture

\subsection{Options sur minimum ou options lookback} %\\{\small (E. Gobet, S. Menozzi)}

\noindent Les options classiques (mod\`ele de Black-Scholes) portent
sur des flux ne dépendant que de la valeur de l'actif \`a l'échéance
de l'option. N\'eanmoins, de nombreux produits financiers prennent
d\'esormais en compte des flux qui dépendent de toute la trajectoire
du cours. Les options lookback qui portent sur la valeur minimum (ou
maximum) du cours sur un intervalle de temps
sont un exemple de telles options. Points \`a aborder :\\

\noindent- formule explicite dans le cas log-normal,

\noindent- obtention de l'EDP régissant les options lookback,

\noindent- approximation numérique par Monte Carlo,

\noindent- gestion de la couverture.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] P. Buchen, O. Konstandatos, {\it A new method of
pricing lookback options}, Mathematical Finance, 15, p. 245-260,
2005.\\
\noindent [2] A. Conze, R. Viswanathan, {\it Path dependent options
: the case of lookback options}, Journal of Finance, 46,
p. 1893-1907, 1991.\\
\noindent [3] P. Glasserman, {\it Monte Carlo Methods in Financial
Engineering}, Stochastic Modelling and Applied Probability, 53,
Chapitre 6, Springer.

\subsection{Options asiatiques}

\noindent On s'intéresse à la valorisation d'une option asiatique
qui donne le droit à son détenteur de gagner la différence entre la
moyenne arithmétique continue des cours du sous-jacent et un prix
d'exercice donné. Il n'y a pas de formule explicite pour calculer le
prix d'une telle option. L'approximation numérique peut être abordée
par la méthode de Monte Carlo ou par la méthode des
différences finies.\\
\newpage
\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] B. Lapeyre, E. Temam, {\it Competitive Monte Carlo
methods for the pricing of Asian Options}, Journal of
Computational Finance, 5, p. 39-59, 2001.\\
\noindent [2] L.C.G Rogers, Z. Shi, {\it The Value of an Asian
Option}, Journal of Applied Probability, 32, p. 1077-1088, 1995.

\subsection{Produits dérivés sur la volatilité }


\noindent Les ann\'ees r\'ecentes ont vu l'émergence de produits
d\'eriv\'es d'un nouveau type, dont le pay-off d\'epend  de la
volatilit\'e r\'ealis\'ee par un actif de r\'ef\'erence sur une
p\'eriode \`a venir. Ces \og swaps de variance\fg~ou \og swaps de
volatilit\'e\fg~permettent \`a un investisseur de faire un pari sur
le niveau futur de la volatilit\'e  sans avoir \`a émettre de vues
sur le niveau des prix eux-m\^emes. L'objectif de ce travail sera
d'\'etudier ces instruments et les m\'ethodes propos\'ees
pour les \'evaluer.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] P. Carr, D. Madan, {\it Towards a theory of volatility
trading}, in: Volatility, ed. R.A. Jarrow, Risk
Publications, 1998.\\
\noindent [2] K. Demeterfi, E. Derman, M. Kamal, J. Zou, {\it More
than you ever wanted to know about volatility swaps}, Journal of
Derivatives, Summer 1999.



\subsection{Calcul de sensibilité de prix d'options par méthode de Monte Carlo} %{\small (E. Gobet, S. Menozzi)}

\noindent Le calcul de la couverture d'une option ou de sa
sensibilité par rapport \`a des param\`etres comme la volatilité ou
le prix initial de l'actif risqu\'e sous-jacent est un aspect aussi
essentiel, dans la gestion du risque inhérent \`a ces contrats, que
l'évaluation m\^eme de son prix. Nous proposons ici d'étudier
différentes méthodes d'évaluation de ces sensibilités dans un
mod\`ele lognormal pour les options les plus courantes: méthode de
différences finies, méthode de flot (différentiation sous
l'espérance) ou méthode d'intégration par parties de type Malliavin.
Nous comparerons les méthodes entre elles en se basant
sur des simulations de Monte Carlo.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] M. Broadie, P. Glasserman, {\it Estimating security
price derivatives using simulation}, Management Science,
42, p. 269-285, 1996.\\
\noindent [2] E. Fournié, J.M. Lasry, J. Lebuchoux, P.L. Lions, N.
Touzi, {\it Applications of Malliavin calculus to Monte Carlo
methods in finance}, Finance and Stochastics, 1999.\\
\noindent [3] E. Gobet, {\it Revisiting the Greeks for European and
American options}, Stochastic Processes and Appl. to Math. Finance,
Akahori, Ogawa, Watanabe editors, p. 53-71.



\subsection{Valorisation d'options Altiplano par copules}
%Mathieu
\noindent Les copules sont des fonctions permettant de capturer les
dépendances entre différents actifs. D'un point de vue temps de
calcul, leur utilisation peut parfois être une alternative
intéressante à celle de méthodes de Monte Carlo, notamment dans le
cas d'options multi sous-jacents. On illustrera ceci en étudiant une
technique basée sur les propriétés des copules pour la valorisation
d'options Altiplano (options multi sous-jacents dont le pay-off
dépend du nombre
d'actifs ayant franchi certaines barrières entre certaines dates).\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] M. Overhaus,  A. Bermudez, H. Buehler, A. Ferraris, C.
Jordison, A. Lamnouar, {\it Equity Hybrid Derivatives}, Wiley.



\subsection{Erreurs de couverture}

\noindent Des strat\'egies de couverture erron\'ees peuvent conduire
\`a des pertes arbitrairement grandes. \`A partir d'exemples, on
\'etudiera math\'ematiquement et num\'eriquement les lois des
profits et pertes de strat\'egies mal sp\'ecifi\'ees.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] C. Gallus, {\it Exploding hedging errors for digital
options}, Finance and Stochastics, 3, p. 187-201, 1999.



\subsection{Couverture en temps discret}
%Peter

\noindent La propriété de réplication parfaite dans le modèle de
Black-Scholes repose sur l'hypothèse de rebalancement continu du
portefeuille. Dans les conditions réelles du marché, le trading
continu est impossible à cause par exemple des coûts de transaction,
ce qui conduit à une erreur de couverture non-négligeable. Dans ce
projet on étudiera cette erreur et son comportement asymptotique
lorsque le nombre de dates de trading tend vers l'infini, avec et
sans coût de transaction. Si le temps le permet l'effet de
microstructure de marché sera également
abordé.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] D. Bertsimas, L. Kogan,  A.W. Lo, {\it When is time
continuous ?}, Journal of Financial Economics, 55, p. 173-204, 2000.


\section{Options américaines}

\noindent Une option américaine peut être exercée à tout instant
entre la date de son acquisition et son échéance. Pour trouver le
prix de cette option on doit optimiser le moment d'exercice. Même
dans les cas les plus simples, on ne connaît pas de formule
explicite donnant le prix de l'option et le recours à une méthode
numérique est indispensable.

\subsection{Options américaines : optimisation de la frontière d'exercice}%{\small (E. Gobet, B. Lapeyre)}\label{am:frontiere}

\noindent L'optimisation sur les temps d'arrêt peut se ramener à une
maximisation sur les temps d'atteinte de frontière de l'actif
sous-jacent. Dans [2], ce principe d'optimisation de la frontière
est développé pour évaluer le prix d'options américaines: l'objet de
l'EA est de comprendre cette approche et de l'implémenter sur
certains exemples. Points à aborder :\\

\noindent- comprendre la théorie classique des options américaines,

\noindent- comprendre et implémenter la méthode de [2].\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] G. Barone-Adesi, R. Whaley, {\it Efficient analytic
approximation of American option values}, Journal of Finance, 42, p.
301-320,
1987.\\
\noindent [2] D. Garcia. {\it Convergence and biases of Monte Carlo
estimates of American option prices using a parametric
exercise rule}, 2001.\\
\noindent [3] R. Myneni, {\it The pricing of American options},
Annals of Applied Probability, 2, p. 1-23, 1992.

\subsection{Options américaines : évaluation rétrograde par méthodes de Monte-Carlo} %{\small (E. Gobet, B. Lapeyre)}

\noindent Les méthodes d'évaluation classiques ne permettent pas de
traiter des produits optionnels faisant intervenir un grand nombre
d'actifs (plus de $3$ !). Des méthodes récentes, basées sur des
techniques de simulation, permettent d'aborder avec succès ces
questions. L'objet de l'EA sera de comprendre et d'implémenter
certaines d'entre elles. Points à aborder :\\

\noindent- comprendre la théorie classique des options américaines,

\noindent- comprendre et implémenter la méthode de Longstaff et
Schwartz,

\noindent- comprendre et implémenter la méthode de \og quantification\fg.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] V. Bally, G. Pagès, J. Printems. {\it A quantization
tree method for pricing and hedging multidimensional american
options}, Mathematical Finance, 15, p. 119-168, 2005.\\
\noindent [2] P. Glasserman , {\it Monte Carlo Methods in Financial
Engineering}, Stochastic Modelling and Applied
Probability, 53, Chapitre 6, Springer.\\
\noindent [2] R. Myneni, {\it The pricing of American options},
Annals of Applied Probability, 2, p. 1-23, 1992.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Option barri\`ere de type am\'ericain }

\noindent Dans un article de Karatzas et Wang assez exigeant
math\'ematiquement, (mais d'autant plus instructif\ldots) on trouve
des expressions explicites pour des options am\'ericaines de type
Put avec barri\`eres, ainsi que leurs strat\'egies de couverture. On
demandera de comprendre les \'enonc\'es et les preuves~; on
comparera num\'eriquement et math\'ematiquement les strat\'egies
optimales (explicites) avec des strat\'egies
na\"{i}ves et on mettra en \'evidence les effets des barri\`eres.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] I. Karatzas, H Wang, {\it A barrier option of American
type}, Appl. Math. Optim., 42, p. 159-179, 2000.


\section{Volatilité stochastique}

\subsection{Marché incomplet et modèles à volatilité aléatoire} %{\small (B. Lapeyre)}

\noindent Dans le modèle de Black et Scholes, l'actif est supposé
avoir un prix solution de:
\[
 dS_t = S_t(bdt + \sigma dW_t).
\]
Le marché est alors complet~: ceci signifie que l'on peut couvrir
exactement des options portant sur $S_t$. Cette propriété, qui joue
un rôle essentiel pour donner un prix aux options, n'est pourtant
que rarement vérifiée.  Le but de cet EA sera d'étudier des modèles
d'actifs incomplets pour lesquels on doit renoncer à cette
hypothèse. Ce phénomène d'incomplétude apparait, par exemple,
lorsque la volatilité $\sigma$ est supposée être un processus
aléatoire et indépendant du brownien $W$. On parle alors de modèle à
volatilité aléatoire.  Ces modèles sont souvent considérés en
pratique car ils permettent de mieux rendre compte
des prix d'options constatés sur les marchés. Points à aborder :\\

\noindent- On commencera par vérifier dans le modèle de Black et
Scholes, la propriété de couverture parfaite,

\noindent- On poursuivra le travail en traitant le cas où la
volatilité est une chaîne de Markov à temps continu à 2 états,
indépendante de $W$,

\noindent- On vérifiera la propriété d'incomplétude par simulation
et éventuellement par une approche théorique~: on mettra en
\'evidence le fait que le prix n'est alors pas défini de façon
indiscutable et que la couverture de l'option ne peut pas être
exacte.\\

\noindent Il est envisageable d'étendre l'étude à d'autres modèles
incomplets : volatilités solutions d'équations différentielles
stochastiques, modèles avec sauts, couverture à temps discret.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] C.A. Ball, A. Roma, {\it Stochastic volatility option
pricing}, Journal of Financial and Quantitative Analysis,
29(4), p. 584-607, 1994. \\
\noindent [2] N. El Karoui, {\it Cours de l'\'Ecole
Polytechnique}, Fascicule Finance.\\
\noindent [3] J. Hull, A. White. {\it The pricing of options on
assets with stochastic volatilities}, Journal of Finance, 42(2), p. 281-300, 1987.\\
\noindent [4] M. Romano, N. Touzi, {\it Contingent claims and market
completeness in a stochastic volatility model}, Mathematical
Finance, 7, p. 399-412, 1997.

\subsection{Robustesse de la formule de Black et Scholes}

\noindent La formule de Black et Scholes est utilis\'ee largement en
pratique, non parce que le march\'e \'evolue exactement
conform\'ement au mod\`ele, mais parce que la formule est robuste
aux erreurs de mod\'elisation. Par exemple, des strat\'egies
fond\'ees sur un mod\`ele mal sp\'ecifi\'e de volatilit\'e peuvent
n\'eanmoins assurer d'excellentes couvertures. On \'etudiera cette
question dans des contextes divers d'un point de vue th\'eorique
et d'un point de vue num\'erique \`a partir de simulations.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] N. El Karoui, M. Jeanblanc-Picqu\'e, S. Shreve. {\it
Robustness of the Black and Scholes formula}, Mathematical Finance,
8(2),
p. 93-126, 1998.\\
\noindent [2] S. Romagnoli, T. Vargiolu. {\it Robustness of the
Black-Scholes approach in the case of options on several assets},
Finance and Stochastics, 4, p. 325-341, 2000.\\
\noindent [3]  A. Shied, M. Stadje, {\it Robustness of delta hedging
for path-dependent options in local volatility models}, J. App.
Prob., 44, p. 865-879, 2007.

\subsection{\'Evaluation d'options en pr\'esence de volatilit\'es stochastiques (1)}
%Talay

\noindent Les prix et les strat\'egies de couverture d'options dans
le mod\`ele de Black-Scholes sont d\'efinis en supposant que les
volatilit\'es des actifs sous-jacents sont constantes et
d\'eterministes. On \'etudiera comment s'\'etend la th\'eorie dans
le cadre de mod\`eles markoviens. On \'etudiera ensuite une
approche, fond\'ee sur la notion de mesure martingale minimale, pour
le cas des volatilit\'es solutions d'\'equations
diff\'erentielles stochastiques.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] G. Kallianpur, J. Xiong. {\it Asset pricing with
stochastic volatilities}, Appl. Math. Opt., 43, p. 47-62, 2001.

\subsection{\'Evaluation d'options en pr\'esence de volatilit\'es stochastiques (2)}

\noindent Les strat\'egies de couverture d'options dans le mod\`ele
de Black-Scholes sont d\'efinies en supposant que les volatilit\'es
des actifs sous-jacents sont constantes et d\'eterministes. On
\'etudiera les risques que repr\'esente une telle mod\'elisation
lorsque les volatilit\'es r\'eelles sont stochastiques et d\'efinies
par des dynamiques propos\'ees dans
l'ouvrage cit\'e en r\'ef\'erence.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] J-P. Fouque, G. Papanicolaou, K.R. Sircar, {\it
Derivatives in financial markets with stochastics volatility.}
Cambridge University Press, 2000.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Calibration et risque de modèle}

\subsection{Extraction de volatilit\'e \`a partir des prix d'options et formule de Dupire}

\noindent Si on connait les prix de marché des Calls portant sur un
sous-jacent en fonction de l'échéance et du strike, on peut
construire un modèle de diffusion avec fonction de volatilité locale
pour le sous-jacent qui permet de retrouver cette nappe de prix de
marché. La fonction de volatilité locale est donnée par la formule
de Dupire [1]. L'objectif de cet EA est d'établir la formule de
Dupire et d'implémenter la résolution de l'équation aux dérivées
partielles qui lui est associée.
\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] B. Dupire, {\it Pricing with a smile}, RISK, January
1994.



\subsection{Prix de marché des Calls}

\noindent On s'intéresse aux prix des Calls portant sur un
sous-jacent donné. Les conditions qui assurent l'Absence
d'Opportunité d'Arbitrage sur la nappe de ces prix pour toutes les
valeurs du couple maturité/strike sont bien connues. Sous ces
conditions, on peut construire un modèle de diffusion avec fonction
de volatilité locale pour le sous-jacent qui permet de reproduire
cette nappe de prix [1]. Mais, en pratique, seuls les prix de Calls
correspondant à un nombre fini de couples maturité/strike sont cotés
sur le marché. L'objectif de cet EA est
d'étudier à partir de [1] et [2]:\\

\noindent- les conditions qui assurent qu'un tel ensemble fini de
prix est bien compatible avec l'Absence d'Opportunité d'Arbitrage,

\noindent- la construction d'un modèle permettant de reproduire ces prix.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] H. Buehler. {\it Expensive martingales},
Quantitative Finance, 6(3), p. 207-218, 2006.\\
\noindent [2] M. Davis, D. Hobson, {\it The range of traded option
prices}, Mathematical Finance, 17(1), p. 1-14, 2007.\\
\noindent [3] B. Dupire, {\it Pricing with a smile}, RISK, January
1994.

\subsection{Problèmes inverses et calibration de modèle}

\noindent Alors que la th\'eorie des options propose des m\'ethodes
pour \'evaluer et couvrir les options \'etant donn\'e la
connaissance du processus stochastique qui d\'ecrit le sous-jacent,
en pratique ce processus  n'est pas connu et doit \^etre
identifi\'e. La disponibilit\'e des prix d'options sur le march\'e
permet de les utiliser comme source   pour extraire des informations
sur ce processus. Ce {\it probl\`eme inverse}, connu sous le nom de
calibration de mod\`ele, est typiquement mal pos\'e et peut admettre
beaucoup de solutions, d'o\`u la n\'ecessit\'e d'un crit\`ere
supplémentaire pour en choisir une. Un crit\`ere utilis\'e par
plusieurs auteurs dans ce cadre est l'entropie de la distribution de
l'actif relative \`a une loi a priori. Le projet consiste \`a
\'etudier cette approche d'abord dans un cadre statique,
impl\'ementer num\'eriquement les algorithmes propos\'es
et les appliquer \`a des donn\'ees empiriques d'options.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] M. Avellaneda, R. Buff, C. Friedman, N. Grandchamp, L.
Kruk, J. Newman, {\it Weighted Monte Carlo: A new technique for
calibrating asset pricing models}, International Journal of
Theoretical and Applied Finance, 4, p. 91-119, 2001.\\
\noindent [2] P.W. Buchen, M.F. Kelly, {\it Asset price
distributions inferred from linear inverse theory}, Journal of
Computational Finance, 3, p. 53-69, 2000.


\subsection{Smile de volatilité implicite}
%Peter
\noindent Dans le modèle de Black-Scholes, le prix d'une option est
déterminé de manière unique à partir d'un seul paramètre
inobservable: la volatilité. Si on connaît le prix de marché d'une
option, on peut inverser la formule de Black-Scholes et calculer sa
volatilité, qui s'appelle dans ce cas, la \emph{volatilité
implicite} de cette option. La volatilité implicite peut être
définie et constitue une représentation très utile du prix même si
ce prix est calculé dans un modèle autre que Black-Scholes. La
volatilité implicite devient ainsi une fonction de strike de
l'option: phénomène connu sous le nom de \og smile de volatilité
implicite\fg. Il est alors intéressant d'étudier le comportement de
ce smile. Dans un article récent, Roger Lee [2] montre que le carré
de la volatilité implicite est asymptotiquement linéaire en fonction
du logarithme de strike. Le but de ce projet est de tester ce
résultat dans le cadre du modèle
de Heston [1]. Le travail se déroulera en trois étapes:\\

\noindent- étude du modèle de Heston,

\noindent- calcul théorique de la forme asymptotique de volatilité
implicite dans le modèle de Heston,

\noindent- simulation numérique des prix d'options dans le modèle de
Heston
et calcul numérique de la volatilité implicite.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] S. Heston, {\it A closed-form solution for options
with stochastic
  volatility with applications to bond and currency options}, Rev. Fin.
  Studies, 6, p. 327-343., 1993.\\
\noindent [2] R. Lee, {\it The moment formula for implied volatility
at extreme
  strike}, Mathematical Finance, 14, p. 69-480, 2004.


\subsection{Mouvement brownien fractionnaire et arbitage}
%MATHIEU

\noindent Le mouvement brownien fractionnaire est un processus
Gaussien dont la régularité est paramétrisée par un indice $H\in
(0,1)$ appelé indice de Hurst. Le cas $H=1/2$ correspond au cas
usuel en finance du mouvement brownien standard. On montrera que si
la dynamique de l'actif est dirigée par un mouvement brownien
fractionnaire d'indice de Hurst $H$ différent de 1/2, alors il est
possible d'arbitrer le marché. On s'intéressera aussi à des méthodes
de détection de ces éventuels arbitrages grâce à l'estimation de
l'indice de Hurst. Enfin, on étudiera éventuellement la remise en
cause de cette possibilité d'arbitrage en présence de
coûts de transaction.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] P. Guasoni, M. Rasonyi, W. Schachermayer, {\it The
fundamental theorem of asset pricing for continuous processes
under small transaction costs}, Preprint, 2008.\\
\noindent [2] L.C.G. Rogers, {\it Arbitrage with fractional Brownian
motion}, Mathematical Finance 7(1), p. 95-105, 1997.



\subsection{Dimension brownienne}
%MATHIEU

\noindent Lorsque l'on s'intéresse à une modélisation multi-actifs,
le choix de la dimension du mouvement brouwnien dirigeant la
dynamique de ces actifs est de première importance. On s'intéressera
à des techniques de statistique des processus permettant d'estimer
la dimension la plus pertinente. On étudiera ensuite l'impact du
choix de cette dimension en terme de stratégie
financière.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] J. Jacod, A. Lejay, D. Talay, {\it Estimation of the
Brownian dimension of a continuous Ito process}, Bernoulli, 14(2),
p. 469-498, 2008.



\section{Gestion de portefeuille}


\subsection{Optimisation de portefeuille en pr\'esence de sauts}

\noindent La charge d'un gestionnaire de fond consiste à trouver la
meilleure allocation dynamique de portefeuille au sens d'un certain
critère faisant intervenir les préférences du gestionnaire (ou de sa
hiérarchie), ainsi que l'horizon temporelle de l'investissement. Le
modèle de Merton suppose que la dynamique des actifs échangeables
est définie par un modèle de Black-Scholes et donne une solution
explicite du problème de gestion de portefeuille pour une maturité
donnée et un critère de type puissance. De nombreuses extensions ont
été développées depuis. Nous proposons ici d'étudier l'effet de
présence de sauts dans la
dynamique des prix.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] Y. A\"it Sahalia, J. Cacho-Diaz, T. Hurd, {\it
Portfolio choice with jumps: a closed-form solution}, Preprint.\\
\noindent [2] R. Cont, P. Tankov, {\it Financial Modelling with
Jump Processes}. Chapman and Hall, CRC Press, 2003.\\
\noindent [3] R.C. Merton, {\it Optimum consumption and portfolio
rules in a continuous-time model}, Journal of Economic Theory, 3, p.
373-413, 1971.

\subsection{Strat\'egie optimale en pr\'esence de sauts dans la dynamique des prix: l'approche duale}

\noindent Sur un march\'e financier, un agent souhaite optimiser sa
richesse terminale. Pour cela, il peut acheter et vendre des actifs
financiers. On commencera par \'etudier le cas o\`u les prix des
actifs sont mod\'elis\'es par un processus continu dirig\'e par un
mouvement brownien. Cependant, l'analyse de l'\'evolution des prix
r\'ev\`ele aussi des variations brutales et rares, qu'il est naturel
de mod\'eliser, d'un point de vue probabiliste, par un processus de
Poisson, dont les sauts sont de taille constante et ont lieu \`a des
instants impr\'evisibles et rares. On \'etudiera donc la strat\'egie
optimale d'un agent dans un tel mod\`ele de
march\'e avec discontinuit\'e des prix. Points \`a aborder :\\

\noindent- \'etude de la viabilit\'e et de la compl\'etude du
march\'e avec discontinuit\'e des prix,

\noindent- simulation des strat\'egies de gestion optimales,

\noindent- \'etude de l'impact des sauts sur les strat\'egies optimales.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] R. Cont, P. Tankov, {\it Financial Modelling with
Jump Processes}. Chapman and Hall, CRC Press, 2003.\\
\noindent [2] M. Jeanblanc-Picqu\'e, M. Pontier, {\it Optimal
Portfolio for a small Investor in a market model with discontinuous
prices}, Applied Mathematics and Optimization, 22,
p. 287-310, 1990.\\
\noindent [3] I. Karatzas, S. Shreve, {\it Method of Mathematical
Finance} (chapitres 1 et 3), Springer Verlag, 1998.

\subsection{Valorisation d'options par minimisation des pertes}

\noindent Dans le mod\`ele de Black-Scholes, il est possible de
couvrir sans risque \`a peu pr\`es tout type d'option \`a condition
d'avoir un montant initial d'argent suffisant. Maintenant, si l'on
souhaite investir une prime moindre, la couverture parfaite n'est
plus envisageable et on peut chercher \`a minimiser le risque
encouru, en adoptant la meilleure stratégie possible: c'est le point
de vue que nous allons aborder dans ce projet. Pour un mod\`ele
d'actif risqué mod\'elisé par un brownien géométrique, il est
possible d'obtenir des formules exactes pour les options d'achat.
Des simulations de type Monte Carlo permettront de traiter le cas
d'options exotiques. Les différents crit\`eres de valorisation
seront comparés entre eux, en termes de prix et risque.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] H. F\"ollmer, P. Leukert, {\it Quantile hedging},
Finance and Stochastics, 3, p. 251-273, 1999.\\
\noindent [2] H. F\"ollmer, P. Leukert, {\it Efficient hedging: cost
versus shortfall risk}, Finance and Stochastics, 4, p. 117-146,
2000.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Mesures de risques dynamiques}

\noindent Des auteurs ont r\'ecemment propos\'e des mesures de
risque alternatives \`a la traditionnelle VaR afin de prendre en
compte la dimension intertemporelle des risques de mod\'elisation
dans la mise en place des strat\'egies de couverture d'options. On
\'etudiera de telles mesures de risques dans des cas simples, et \`a
partir de simulations, on mettra en \'evidence leurs avantages
par rapport \`a la VaR.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] J. Cvitani{\'c}, I. Karatzas, {\it On dynamic measures
of risk}, Finance and Stochastics, 3(4), p. 451-482,
1999.\\
\noindent [2] D. Talay, Z. Zheng, {\it Worst case model risk
management}, Finance and Stochastics, 6(4), p. 517-537, 2002.

\subsection{Assurance de portefeuille}

\noindent Afin de rassurer leur clientèle, les gestionnaires de
portefeuille proposent des fonds avec garantie de capital. Du point
de vue du gestionnaire, il s'agit d'implémenter le meilleure
allocation de portefeuille, selon un critère donné, sous la
contrainte que la valeur du portefeuille soit supérieure à la
garantie à laquelle il s'est engagé avec son client. La technique
d'assurance de portefeuille propose d'obtenir cette garantie par
l'achat d'un put sur le fonds lui-même. Cette stratégie se révèle
optimale dans un certain cadre simple, mais n'est pas optimale dans
le cas
général\ldots\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] N. El Karoui, M. Jeanblanc, V. Lacoste, {\it Optimal
portfolio management with American capital guarantee}, Journal of
Economic Dynamics and Control, 29, p.
449-468, 2005.\\
\noindent [2] R.C. Merton, {\it Optimum consumption and portfolio
rules in a continuous-time model}, Journal of Economic Theory, 3, p.
373-413, 1971.

\subsection{Comparaison de deux stratégies avec garantie de capital}

\noindent Pour inciter les acheteurs à acheter des produits
structurés, les banques proposent souvent une garantie portant sur
la totalité ou une proportion du montant investi. L'objectif de cet
EA est de comprendre et de comparer deux stratégies de gestion
qui assurent une telle garantie. Il s'agit de:\\

\noindent- la stratégie qui consiste à acheter une action et une
option de vente (Put) portant sur cette action,

\noindent- la stratégie du coussin.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] P. Bertrand, J.-L. Prigent, {\it Portfolio insurance
  strategies : A comparison of standard methods when the volatility of
  the stock is stochastic}, International Journal of Business,
  8(4), p. 461-472, 2003.\\
\noindent [2] P. Bertrand, J.-L. Prigent, {\it Portfolio insurance
  strategies : OBPI versus CPPI}, Finance, 26(1), p. 5-32, 2005.\\
\noindent [3] R. Cont, P. Tankov. Constant Proportion Portfolio
  Insurance in presence of jumps in asset prices, Preprint, 2007.

\subsection{Strat\'egies d'analyse technique}

\noindent Beaucoup de transactions sont effectu\'ees \`a
l'aide de strat\'egies fond\'ees sur des caract\'eristiques
g\'eom\'etriques d'historiques de cours. Des travaux r\'ecents et en
cours tentent de pr\'eciser les propri\'et\'es de telles
strat\'egies en les confrontant aux strat\'egies fond\'ees sur des
mod\`eles stochastiques du march\'e. On s'int\'eressera,
math\'ematiquement et num\'eriquement, \`a une situation assez
simple qui permet d'\'etudier une strat\'egie fond\'ee sur un
indicateur de rupture
du rendement d'une action.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] C. Blanchet, A. Diop, R. Gibson, D. Talay, E. Tanr\'e,
{\it Technical analysis compared to mathematical models based
methods under parameters mis-specification}, Journal Banking
and Finance, 31, p. 1351-1373, 2007.\\
\noindent [2] A.N. Shiryaev, {\it Quickest detection problem in the
technical analysis of the financial data}, Mathematical Finance,
Bachelier Congress (2000), Springer Finance, Springer, p. 487-521,
2002.

\section{Information priv\'ee et initié}

\noindent On se placera dans le cadre d'un march\'e financier dont les prix des actifs sont dirig\'es par un mouvement brownien. L'information minimale dont disposent les agents pour r\'esoudre leur probl\`eme d'optimisation est celle obtenue par l'observation du processus des prix. Cependant, il semble que les agents sont inform\'es de mani\`ere h\'et\'erog\`ene et re\c{c}oivent un flux d'information qui leur est propre. Pour de tels initi\'es, on \'etudiera: \\

\noindent- la viabilit\'e  et la compl\'etude du march\'e (des
probl\`emes d'arbitrage se posent),

\noindent- le gain de l'initi\'e (par rapport \`a un non-initi\'e),

\noindent- la mise en oeuvre de tests de d\'etection.\\

\noindent On peut consid\'erer plusieurs mod\'elisations de l'information priv\'ee.\\

\subsection{Information initiale}\label{hillairet2}

\noindent On dit qu'un agent poss\`ede une information initiale s'il
connait, d\`es l'instant $t=0$, une fonctionnelle des trajectoires
du processus des prix.  La cl\'e de cette mod\'elisation est la
th\'eorie du grossissement initial de filtration par une variable
al\'eatoire. On \'etudiera par exemple le cas o\`u l'initi\'e
connait le ratio du prix terminal de deux actifs, ou bien encore le
cas o\`u l'initi\'e sait si le prix terminal d'un actif sera
dans une fourchette donn\'ee ou non.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] A. Grorud, M. Pontier, {\it Comment d\'etecter le d\'elit d'initi\'e}, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 324, p. 1137-1142, 1997.\\
\noindent [2] A. Grorud, M. Pontier, {\it Insider trading in a
continuous time market model}, International Journal of
Theoretical and Applied Finance, 1, p. 331-347, 1998.\\
\noindent [3] M. Pontier, {\it Mod\'elisation et d\'etection du
d\'elit d'initi\'e}, Matapli 77, 2005.

\subsection{Information progressive}\label{hillairet3}

\noindent On dit qu'un agent poss\`ede une information progressive
s'il connait une fonctionnelle des trajectoires du processus des
prix, perturb\'ee par un bruit ind\'ependant qui d\'ecro\^it au
cours du temps. L'information devient donc de plus en plus
pr\'ecise. La cl\'e de cette mod\'elisation est la th\'eorie du
grossissement progressif de filtration. On \'etudiera par exemple le
cas o\`u l'initi\'e connait  le prix terminal d'un actif, perturb\'e
par un
bruit.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] J. M. Corcuera,  P. Imkeller, A. Kohatsu-Higa, D. Nualart, {\it Additional Utility of  insiders with imperfect dynamical information},  Finance and Stochastics, 8, p. 437-450, 2004.\\
\noindent [2] A. Grorud, M. Pontier, {\it Comment d\'etecter le d\'elit d'initi\'e}, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 324, p. 1137-1142, 1997.\\
\noindent [3] M. Pontier, {\it Mod\'elisation et d\'etection du d\'elit d'initi\'e}, Matapli 77, 2005.\\



\section{Stratégies haute fréquence, microstructure des marchés}\label{financefin}

\noindent La disponibilité de données haute fréquence, la
multiplication des places de marchés, ainsi qu'une compréhension de
plus en plus fine des phénomènes de microstructure, ont ouvert de
nouvelles perspectives en finance de marché. En particulier, le
trading haute fréquence est né de la volonté d'optimiser les
transactions en profitant de ce nouveau contexte. Son essor récent a
nécessité le développement de méthodes originales de mathématiques
financières et de statistique des processus. Un nombre grandissant
d'équipes de trading propriétaires, de salles de marchés et de hedge
funds y ont aujourd'hui constamment recours.



\subsection{Estimation haute fréquence de la volatilité, application au trading d'options}

%MATHIEU

\noindent Dans cet EA, on se placera dans la situation d'un trader
haute fréquence souhaitant faire de l'arbitrage sur options. L'idée
est de détecter les anomalies de valorisation en comparant prix
d'options et mesures de volatilité. On montrera dans un premier
temps que le cadre usuel d'une modélisation brownienne est
insuffisant dans ce contexte de données haute fréquence. On
s'appuiera ensuite sur différentes extensions de ce cadre pour
modéliser la microstructure des marchés et
construire des stratégies de trading.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] Y. A\"it-Sahalia, P.A. Mykland, L. Zhang, {\it A tale
of two time scales: Determining integrated volatility with noisy
high frequency data}, JASA 77, 100 (472), p. 1394-1411, 2005.\\
\noindent [2] F.G. Bandi, J.R. Russell, C. Yang, {\it Realized
volatility forecasting and option pricing}, Preprint, 2006.\\
\noindent [3] O.E. Barndorff-Nielsen,  P. Hansen, A. Lunde, N.
Shephard, {\it Designing realised kernels to measure the ex-post
variation of equity prices in the presence of noise}, Econometrica,
2008.

\subsection{Corrélation haute fréquence, application au market impact}

%MATHIEU
\noindent Bien que la présence de corrélations haute fréquence soit
un consensus de marché et que de nombreuses stratégies en place
(comme le pair trading) optimisent un critère multi-titres, la
mesure et l'exploitation des dépendances entre les variations des
prix de deux titres ont été peu explorées. On montrera tout d'abord
que, même dans le cadre brownien, la simple asynchronicité des prix
(les transactions n'ont pas lieu aux mêmes instants pour deux actifs
différents) explique en partie l'effet Epps, c'est à dire une
estimation haute fréquence des corrélations systématiquement proche
de zéro. On montrera comment corriger cet effet puis on tentera de
résoudre le problème dans un cadre plus réaliste, permettant de
reproduire les effets de microstructure des marchés. On appliquera
les résultats obtenus à l'optimisation de la vente
d'un portefeuille d'actifs.\\

\noindent {\Large Références}\\

\noindent [1] R. Almgren, N. Chriss, {\it Optimal execution of
portfolio transactions}, J. Risk 3, p. 5-39, 2000.\\
\noindent [2] T. Hayashi, N. Yoshida, {\it On covariance estimation of non-synchronously observed diffusion processes}, Bernoulli 11(2), p. 359-379, 2005.\\
\noindent [3] L. Zhang, {\it  Estimating covariation: Epps effect,
microstructure noise}, Preprint, 2006.

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